§14-3全微分.docVIP

§14-3 全微分 一元 二元 （一般很复杂） （在一定条件下） 其中 1 定义 如果可表示为 则称在点处可微，并称的线性主部是函数的微分 问： Th1 若在点处可微，则在点处必定连续和偏导数存在，且有 因此，函数在某点连续和偏导数存在函数在该点可微的必要条件，但不是充分条件，充分条件是： Th2.若z f x,y 在点 x,y 的偏导数都存在且连续，则z f x,y 在点 x,y 可微 一元函数：可导可微 可导不等价于连续 二元函数：偏导数（存在且）连续可微 结论记住即可，不要求证明或举反例 若z f x,y 可微，则都是自变量） 推广：设u f x,y,z 可微，则 求全微分： 注：二元函数全微分的定义与计算机公式（4、3），可推广到二元以上的函数，如对三元函数u f x,y,z , 2 全微分的运算法则 设u u x,y ,v v x,y 在点 x,y 处均可微，则有： 和一元函数的微分一样，多元复合函数也具有一阶全微分形式不变性 利用上述性质，往往可以简化求全微分的计算 例2、设可微，求全微分dz: 解： 注意：最后一步不能少，因为是自变量 ex设可微，试求全微分du 解： 例3、求隐函数的全微分dz: 解： 比较可知 当然，此题还有一种解法是，先求出隐函数的偏导数和 例4设是由方程所确定的隐函数，求， 解法1（利用隐函数的偏导公式） 解法2（先求出全微分） 作业: P76 5