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例谈数形结合的思想方法在解题中的运用 　　数学思想是数学的灵魂，数学思想方法是解决数学问题的思维策略和钥匙。数学思想方法蕴含于数学知识之中，又相对超脱于某一个具体的数学知识之外。数学思想方法的教学比单纯的数学知识教学困难得多。因为数学思想方法是具体数学知识的本质和内在联系的反映，具有一定的抽象性和概括性，它强调的是一种意识和观念。常用的数学思想方法主要有转化与化归的思想方法、数形结合的思想方法、分类讨论的思想方法、函数与方程的思想方法和建模的思想方法等。其中，数形结合的思想方法运用尤为广泛。这是因为数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，故研究总是围绕着数与形进行的。“数”就是代数式、函数、不等式等表达式，“形”就是图形、图象、曲线等。数形结合就是抓住数与形之间本质上的联系，以形直观地表达数，以数精确地研究形。“数无形时不直观，形无数时难入微。”数形结合是研究数学问题的重要思想方法，它能有效地将形象思维过渡到抽象思维。下面，略举数例，谈谈数形结合的思想方法在几何解题中的运用。 　　一、挖掘内在联系，找准结合点 　　运用数形结合的思想方法，关键在于立足题例，悉心观察，深入思考，严谨分析，反复推敲，准确找到“数”与“形”的最佳结合点。在运用数形结合思想方法的过程中，常用的结合点甚多。其中，笔者有感于如下两点。 　　1.在数形结合中利用曲线的定义 　　在圆锥曲线中，圆、椭圆、抛物线、双曲线的定义揭示了动点在运动中与定点（定直线）所保持的特定关系。这种特定关系正是“数”与“形”的最佳结合点之一。在解题中，须善用之。 　　例如，已知A（ ，0），B是圆F： 　　上的一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P。求动点P的轨迹方程。 　　分析（图略）：由线段AB的垂直平分线易想到连接A、P，势必有PA=PB，于是PA+PF=FB，而FB是圆F的半径（定值）， 　　且圆心F（ ，0）与点A（ ，0）均为定点。这些，正好 　　符合椭圆的定义。由A点、F点的坐标可知，动点P的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上的椭圆。故可用定义法解之，一举奏效。此题，若设动点P的坐标，按常法――“轨迹法”解之，则既难且繁，然而，解题者却极易步入此道。因此，我们务必加强数形结合的思想意识。2.在数形结合中利用曲线与方程的关系 　　曲线与方程的关系是“数”与“形”的结合点之一。其通常用法是：曲线上的点的坐标必然适合于曲线的方程。若点的坐标含有未知数，则把点的坐标代入曲线方程，旨在利用曲线与方程的关系建立新的方程，解决问题。这较之利用其它等量关系建立方程更为简捷。 　　例如，如图，已知P（3a，a）是反比例函数 （k0） 　　与⊙o的一个交点，图中阴影部分的面积为10∏，求该反比例函数式。 　　分析：图中阴影部分的面积正好是⊙o面积的 ，所以⊙o面积为40∏。因为点P（3a，a）既在双曲线上又在圆上，其坐标必然分别适合于它们的方程，故可建立新的方程（组），以求k之值。 　　简述：∵点P（3a，a）在反比例函数 （k0） 　　的图象上，∴ ，∴ ，∵40∏=∏ ， 　　∴ =40，∴⊙o的方程为 ， 　　∵点P（3a，a）在⊙o上，∴ ，∴ ， 　　∴ 故该反比例函数式为 　　二、摆脱思维定势，力避局限性 　　值得注意的是，数形结合的思想方法在运用中，有其局限性，不可泛用和滥用，有时则须摆脱其思维定势的影响，另辟新径。否则，极易步入歧途，自找麻烦，甚至无功而返。例如，下面的一道组合式几何题，第一小题，用数形结合的思想方法，不难解之，但第二小题若用数形结合的思想方法，则障碍重重，特别是第二问，更是多方设形，难以奏效。但如若采用三角函数与不等式的计算方法，则既易且简，水到渠成。其为―― 　　已知菱形ABCD的边长为6，且∠B=60°，现有两动点P、Q均以1单位?s的速度分别从D、C同时出发，点P沿射线DC运动，点Q沿折线C→B→A运动，当Q到达A点时运动停止，设运动时间为t 　　（1）当Q在边CB上时（不与B、C重合），试判断△APQ的形状。 　　分析（图略）：要判断△APQ的形状，则须考察其三边是否彼此相等。一般是利用三角形全等的性质解决问题。于是，连接A、C，考察△ABQ与△ACP是否全等，继而进一步探索，△APQ是否是等边三角形。 　　简述：连接A、C，由菱形得性质易知∠BCA=∠PCA=60°，∴可知△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠B=∠PCA，又易知BQ=CP，∴△ABQ≌△ACP，∴AQ=AP，∠BAQ=∠CAP，又易知∠BAC=60°，∴∠PAQ=60°，故△APQ是等边三角形。 　　（2）当点Q在BC边上时（不与B、C重合），求△CPQ周长的最小值及△CPQ面积的最大值。 　　①求△CPQ周长的最小值