概率论与数理统计第3章多维随机变量及其分布讲解.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 称 注 意 点 为 的相关矩阵. 课堂练习1 设 X ~ N(0, 1), Y ~ N(0, 1), Var(X?Y) = 0, 求 (X, Y) 的协差阵 ? . 课堂练习2 设 X, Y 的协差阵为 求相关阵 R. 对二维随机变量(X, Y), 在给定Y取某个值的条件下, X的分布; 在给定X取某个值的条件下, Y的分布. §3.5 条件分布与条件期望 (1) 条件分布列： 3.5.1 条件分布 (2) 条件密度函数： (3) 条件分布函数： 3.5.2 条件数学期望 定义 3.5.4 E(X| Y=y) 是 y 的函数. 注 意 点 所以记 g(y) = E(X| Y=y). 进一步记 g(Y) = E(X| Y). 重期望公式 定理 3.5.1 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 正态分布的可加性 若 X ? N( )，Y ? N( ) ， 注意： X ?Y 不服从 N( ). 且独立， 则 Z = X ? Y ? N( ). X ?Y ? N( ). 独立正态变量的线性组合仍为正态变量. (见下) 独立正态变量的线性组合仍为正态变量 Xi ~ N(?i, ?i2), i =1, 2, ... n. 且 Xi 间相互独立, 实数 a1, a2, ..., an 不全为零, 则 伽玛分布的可加性 若 X ? Ga(?1, ?)，Y ? Ga(?2, ?) ， 注意： X ?Y 不服从 Ga(?1??2, ? ). 且独立， 则 Z = X + Y ? Ga(?1+?2, ? ). ?2 分布的可加性 若 X ? ?2( n1 )，Y ? ?2( n2 ) ， 注意： (1) X ?Y 不服从 ?2 分布. 且独立， 则 Z = X + Y ? ?2( n1+n2). (2) 若 Xi ? N(0, 1)，且独立，则 Z = ? ?2( n ). 注 意 点 (1) 独立的0-1分布随机变量之和服从二项分布. (2) 独立的指数分布随机变量之和服从伽玛分布. 例3.3.3 设 X 与 Y 独立，X～U(0, 1), Y～Exp(1). 试求 Z = X+Y 的密度函数. 解: 被积函数的非零区域为： 0x1 且 z?x0 用卷积公式： (见下图) x z 1 z = x 因此有 (1) z 0 时 pZ(z) = 0 ; (2) 0 z 1 时 pZ(z) = (3) 1 z 时 pZ(z) = 1 3.3.4 变量变换法 已知 (X, Y) 的分布， (X, Y) 的函数 求 (U, V) 的分布. 变量变换法的具体步骤 有连续偏导、存在反函数 则 (U, V) 的联合密度为 若 其中J为变换的雅可比行列式： 增补变量法 可增补一个变量V = g2(X, Y) ， 若要求 U = g1(X, Y) 的密度 pU(u) ， 先用变量变换法求出 (U, V)的联合密度pUV(u, v)， 用此方法可以求出卷积公式、积的公式、商的公式 然后再由联合密度pUV(u, v)，去求出边际密度pU(u) 本节主要给出 X 与 Y 的相关系数 §3.4 多维随机变量的特征数 3.4.1 多维随机变量函数的数学期望 定理 3.4.1 设 (X, Y) 是二维随机变量， Z = g(X, Y)，则 E(Z) = E[g(X, Y)] = 课堂练习 在长为 a 的线段上任取两点 X 与 Y，求两点间的平均长度. 求 E(|X?Y|) 3.4.2 数学期望与方差的运算性质 1. E(X+Y)=E(X)+E(Y) 2. 当X与Y独立时，E(XY)=E(X) E(Y), (性质3.4.1) (性质3.4.2) 讨论 X+Y 的方差 1. Var(X?Y) = Var(X)+ Var (Y) ?2E[X?E(X)][Y?E(Y)] 3. 当X与Y独立时，E[X?E(X)][Y?E(Y)] = 0. 4. 当X与Y独立时， Var