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《计算机数学基础 2 》辅导六? 第14章 常微分方程的数值解法 一、重点内容 1.??? 欧拉公式： k＝0，1，2，…，n－1 局部截断误差是O h2 。 2. 改进欧拉公式： 或表示成： 平均形式： 局部截断误差是O h3 。 3. 四阶龙格――库塔法公式： 其中 1＝f xk，yk ； 2＝f xk+0.5h，yk+0.5h 1 ； 3＝f xk+0.5h，yk+0.5h 2 ； 4＝f xk+h，yk+h 3 局部截断误差是O h5 。 二、实例 例1 用欧拉法解初值问题 取步长h＝0.2。计算过程保留4位小数。 解 h＝0.2，f x，y ＝－y－xy2。首先建立欧拉迭代格式 ＝0.2yk 4－xkyk k＝0，1，2 当k＝0，x1＝0.2时，已知x0＝0，y0＝1，有 y 0.2 ≈y1＝0.2×1 4－0×1 ＝0.8 当k＝1，x2＝0.4时，已知x1＝0.2，y1＝0.8，有 y 0.4 ≈y2＝0.2×0.8× 4－0.2×0.8 ＝0.6144 当k＝2，x3＝0.6时，已知x2＝0.4，y2＝0.6144，有 y 0.6 ≈y3＝0.2×0.6144× 4－0.4×0.6144 ＝0.4613 例2 用欧拉预报－校正公式求解初值问题 取步长h＝0.2，计算 y 1.2 ，y 1.4 的近似值，小数点后至少保留5位。 解 步长h＝0.2，此时f x，y ＝－y－y2sinx 欧拉预报－校正公式为： 有迭代格式： 当k＝0，x0＝1，y0＝1时，x1＝1.2，有 ? ＝y0 0.8－0.2y0sinx0 ＝1× 0.8－0.2×1sin1 ＝0.63171 y 1.2 ≈y1 ＝1× 0.9－0.1×1×sin1 －0.1 0.63171＋0.631712sin1.2 ＝0.71549 当k＝1，x1＝1.2，y1＝0.71549时，x2＝1.4，有 ? ＝y1 0.8－0.2y1sinx1 ＝0.71549× 0.8－0.2×0.71549sin1.2 ＝0.47697 y 1.4 ≈y2 ＝0.71549× 0.9－0.1×0.71549×sin1.2 －0.1 0.47697＋0.476972sin1.4 ＝0.52611 例3 写出用四阶龙格――库塔法求解初值问题 的计算公式，取步长h＝0.2计算y 0.4 的近似值。至少保留四位小数。 解 此处f x，y ＝8－3y，四阶龙格――库塔法公式为 其中 1＝f xk，yk ； 2＝f xk+0.5h，yk+0.5h 1 ； 3＝f xk+0.5h，yk+0.5h 2 ； 4＝f xk+h，yk+h 3 本例计算公式为： 其中 1＝8－3yk； 2＝5.6－2.1yk； 3＝6.32－2.37yk； 4＝4.208＋1.578yk ＝1.2016＋0.5494yk k＝0，1，2，… 当x0＝0，y0＝2， y 0.2 ≈y1＝1.2016＋0.5494y0＝1.2016＋0.5494×2＝2.3004 y 0.4 ≈y2＝1.2016＋0.5494y1＝1.2016＋0.5494×2.3004＝2.4654 例4 对初值问题 ， y 0 ＝1，证明用梯形公式求得的近似解为 并证明当步长h 0时，yn e－x 证明 解初值问题的梯形公式为 ∵ f x，y ＝－y ∴ 整理成显式 反复迭代，得到 ∵ y0＝1 ∴ 若x＞0，为求y x 的近似值，用梯形公式以步长h经过n步计算得到x，故x＝nh，有 例5 选择填空题： 1. 取步长h＝0.1，用欧拉法求解初值问题 的计算公式是 答案： ，k＝0，1，2，…，y0＝1 解答：欧拉法的公式 k＝0，1，2，…，n－1 此处 ，迭代公式为 ，k＝0，1，2，…，y0＝1 2. 改进欧拉法的平均形式的公式是 A B C D 答案： D 解答：见改进欧拉法平均形式公式。 三、练习题 1. 求解初值问题 欧拉法的局部截断误差是 ，改进欧拉法的局部截断误差是 ；四阶龙格――库塔法的局部截断误差是 A O h2 B O h3 C O h4 D O h5 2. 改进欧拉预报－校正公式是 3. 设四阶龙格――库塔法公式为 其中 1＝f xk，yk ； 2＝f xk+0.5，yk+0.5h 1 ； 3＝f xk+0.5，yk+0.5h 2 ； 4＝f xk+h，yk+h 3 取步长h＝0.3，用四阶龙格――库塔法求解初值问题 的计算公式是 。 4. 取步长h＝0.1，用欧拉法求解初值问题 5. 试写出用欧拉预报－校正公式求解初值问题 的计算公式，并取步长h＝0.1，求