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高等数学基础第三次作业 第4章 导数的应用 （一）单项选择题 ⒈若函数满足条件（D　），则存在，使得． A. 在内连续 B. 在内可导 C. 在内连续且可导 D. 在内连续，在内可导 ⒉函数的单调增加区间是（　D）． A. B. C. D. ⒊函数在区间内满足（A　）． A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降 C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升 ⒋函数满足的点，一定是的（C　）． A. 间断点 B. 极值点 C. 驻点 D. 拐点 ⒌设在内有连续的二阶导数，，若满足（ C ），则在取到极小值． A. B. C. D. ⒍设在内有连续的二阶导数，且，则在此区间内是（ A ）． A. 单调减少且是凸的 B. 单调减少且是凹的 C. 单调增加且是凸的 D. 单调增加且是凹的 （二）填空题 ⒈设在内可导，，且当时，当时，则是的 极小值 点． ⒉若函数在点可导，且是的极值点，则 0 ． ⒊函数的单调减少区间是． ⒋函数的单调增加区间是． ⒌若函数在内恒有，则在上的最大值是 f a ． ⒍函数的拐点是 0,2 ． （三）计算题 ⒈求函数的单调区间和极值． 解： 令，得x 5或x 1 令，得1 x 5 令，得驻点x 1, x 5 ∴在内单调上升，在内单调下降。 极大值是 极小值是 ⒉求函数在区间内的极值点，并求最大值和最小值． 解： 令，得驻点x 1 , x 1是极小值点 ∵　，， ∴　最大值是，最小值是，极小值是 *⒊试确定函数中的，使函数图形过点和点，且是驻点，是拐点． 解：以点和点代入得: 以x －2代入得： 以x 1代入得： 联立（1）、（2）、（3）、（4）解得： ⒋求曲线上的点，使其到点的距离最短． 解：曲线上的点 x,y 到点的距离为： 以代入得 令 得 代入 得 所以 曲线上到点的距离最短的点为， ⒌圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？ 解：设圆柱体底半径与高分别为和h 则有 令 得 从而 故当底半径与高分别为和时，圆柱体的体积最大。 ⒍一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？ 解：设圆柱体底半径与高分别为和h 则有 令 得 从而 所以 底半径与高分别为 和时表面积最小 ⒎欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设长方体底为正方形边长为x ， 高为h 令 得 x 5 h 2.5 所以 当长方体底为正方形边长为5， 高为2.5时，用料最省。 *⒏从面积为的所有矩形中，求其周长最小者． 解：设矩形的长和宽分别为x和y, 周长为L 则 令 得 故 面积为的所有矩形中， 周长最小者为正方形。 *⒐从周长为的所有矩形中，求其面积最大者． 解：设矩形的长和宽分别为x和y, 面积为S 则 令 得 周长为的所有矩形中，面积最大者为正方形 （四）证明题 ⒈当时，证明不等式． 证：当时，函数 在 1. 连续； 2. 可导。 由拉格朗日中值定理得：存在， 成立： 而 故 故有 即 亦即 ⒉当时，证明不等式． 证：当时，函数 在 1. 连续； 2. 可导。 由拉格朗日中值定理得：存在， 成立： 而 故 故有 即 1