【步步高 江苏专用理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题一 第5讲导数及其应用.docVIP

第5讲　导数及其应用 【高考考情解读】　导数的概念及其运算是导数应用的基础，这是高考重点考查的内容．考查方式以客观题为主，主要考查：一是导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义；二是导数的应用，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题、证明不等式以及讨论方程的根等，已成为高考热点问题；三是应用导数解决实际问题． 1． 导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，其切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 2． 导数与函数单调性的关系 (1)f′(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0. (2)f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常数，函数不具有单调性． 3． 函数的极值与最值 (1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题． (2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有． (3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最值． 4． 四个易误导数公式及两个常用的运算法则 (1)(sin x)′＝cos x. (2)(cos x)′＝－sin x. (3)(ax)′＝axln a(a0，且a≠1)． (4)(logax)′＝(a0，且a≠1)． (5)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． (6)′＝(g(x)≠0). 考点一　导数几何意义的应用 例1　(1)过点(1,0)作曲线y＝ex的切线，则切线方程为________． (2)(2013·南京模拟)在平面直角坐标系xOy中，设A是曲线C1：y＝ax3＋1(a0)与曲线C2：x2＋y2＝的一个公共点，若C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直，则实数a的值是________． 答案　(1)e2x－y－e2＝0　(2)4 解析　(1)设切点为P(x0，ex0)，则切线斜率为ex0， 切线方程为y－ex0＝ex0(x－x0)， 又切线经过点(1,0)，所以－ex0＝ex0(1－x0)， 解得x0＝2，切线方程为y－e2＝e2(x－2)， 即e2x－y－e2＝0. (2)设A(x0，y0)，则C1在A处的切线的斜率为f′(x0)＝3ax，C2在A处的切线的斜率为－＝－， 又C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直， 所以(－)·3ax＝－1，即y0＝3ax， 又ax＝y0－1，所以y0＝， 代入C2：x2＋y2＝，得x0＝±， 将x0＝±，y0＝代入y＝ax3＋1(a0)，得a＝4. (1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点． (2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解． (1)直线y＝kx＋b与曲线y＝ax2＋2＋ln x相切于点P(1,4)，则b的值为________． (2)若曲线f(x)＝xsin x＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a＝________. 答案　(1)－1　(2)2 解析　(1)由点P(1,4)在曲线上，可得a×12＋2＋ln 1＝4， 解得a＝2，故y＝2x2＋2＋ln x．所以y′＝4x＋. 所以曲线在点P处的切线斜率k＝y′|x＝1＝4×1＋＝5. 所以切线的方程为y＝5x＋b.由点P在切线上， 得4＝5×1＋b，解得b＝－1. (2)f′(x)＝sin x＋xcos x，f′()＝1， 即函数f(x)＝xsin x＋1在点x＝处的切线的斜率是1， 直线ax＋2y＋1＝0的斜率是－， 所以(－)×1＝－1，解得a＝2. 考点二　利用导数研究函数的性质 例2　(2013·广东)设函数f(x)＝x3－kx2＋x(k∈R)． (1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间； (2)当k0时，求函数f(x)在[k，－k]上的最小值m和最大值M. 解　f′(x)＝3x2－2kx＋1， (1)当k＝1时，f′(x)＝3x2－2x＋1＝32＋0， ∴f(x)在R上单调递增． (2)当k0时，f′(x)＝3x2－2kx＋1，其图象开口向上，对称轴x＝，且过(0,1)点． ①当Δ＝4k2－12＝4(k＋)(k－)≤0，即－≤k0时， f′(x)≥0，f(x)在[k，－k]上单调递增．