【步步高】2012高考数学二轮复习 专题七 第1讲几何证明选讲.docVIP

专题七　选修系列4第1讲　几何证明选讲 (推荐时间：60分钟) 一、填空题 1. (2011·陕西)如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则BE＝________. 2．(2011·湖南)如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC＝4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为________． 二、解答题 3.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于点F，∠ECA＝∠D.求证：AC·BE＝CE·AD. 4．(2011·江苏)如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1r2)．圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上)．求证：AB∶AC为定值． 5．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝，点E，F分别为线段AB，AD的中点，求EF的长． 6．如图所示，点P是圆O直径AB延长线上的一点，PC切圆O于点C，直线PQ平分∠APC，分别交AC、BC于点M、N.求证：(1)CM＝CN；(2)MN2＝2AM·BN. 7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，＝.过A点的切线交CB的延长线于E点．求证：AB2＝BE·CD. 8．如图，PA切⊙O于点A，割线PBC经过圆心O，OB＝PB＝1，OA绕点O逆时针旋转60°到OD，求PD的长． 9. 如图，已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于点H，∠ABC＝60°，F在AC上，且AE＝AF. 求证：(1)B、D、H、E四点共圆； (2)CE平分∠DEF. 10．如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连结FB，FC. (1)求证：FB＝FC； (2)求证：FB2＝FA·FD； (3)若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝6 cm，求AD的长． 1．4 2. 3．证明　因为四边形ABCD是平行四边形，所以AF∥BC，所以＝. 又因为AE∥CD，所以△AFE∽△DFC， 所以＝，即＝＝. 又因为∠ECA＝∠D，∠CAF＝∠DAC， 所以△AFC∽△ACD，所以＝， 所以＝， 所以AC·BE＝CE·AD. 4. 证明　如图，连结AO1并延长，分别交两圆于点E和点D.连结BD，CE. 因为圆O1与圆O2内切于点A，所以点O2在AD上，故AD，AE分别为圆O1，圆O2的直径． 从而∠ABD＝∠ACE＝. 所以BD∥CE， 于是＝＝＝. 所以AB∶AC为定值． 5．解　连结DE，由于E是AB的中点，故BE＝.又CD＝，AB∥DC，CB⊥AB， ∴四边形EBCD是矩形． 在Rt△AED中，AD＝a，F是AD的中点，故EF＝. 6．证明　(1)∵PC切圆O于点C， ∴∠PCB＝∠PAC， 又∵∠CPM＝∠APM，∴∠CNM＝∠CPM＋∠PCB＝∠APM＋∠PAM＝∠CMN， ∴CM＝CN. (2)∵∠CPN＝∠APM，∠PCN＝∠PAM， ∴△PCN∽△PAM，∴＝，① 同理△PNB∽△PMC，∴＝.② 又∵PC2＝PA·PB，③ 由①②③可知CM·CN＝AM·BN， ∵CM＝CN，∴CM2＝AM·BN. ∵AB是圆O的直径，∴∠ACB＝90°. ∴MN2＝2CM2，即MN2＝2AM·BN. 7．证明　连结AC. ∵EA切⊙O于A，∴∠EAB＝∠ACB， ∵＝， ∴∠ACD＝∠ACB，AB＝AD. ∴∠EAB＝∠ACD. 又四边形ABCD内接于⊙O， 所以∠ABE＝∠D. ∴△ABE∽△CDA. ∴＝，即AB·DA＝BE·CD. ∴AB2＝BE·CD. 8．解　方法一　连结AB， ∵PA切⊙O于点A，B为PO中点， ∴AB＝OB＝OA， ∴∠AOB＝60°，∴∠POD＝120°. 在△POD中，由余弦定理得PD2＝PO2＋DO2－2PO·DO·cos∠POD＝4＋1－4×(－)＝7.∴PD＝. 方法二　过D作DE⊥PC，垂足为E， ∴∠POD＝120°， ∴∠DOE＝60°，可得OE＝，DE＝， 在Rt△PED中， PD＝＝＝. 9．证明　(1)在△ABC中，∵∠ABC＝60°， ∴∠BAC＋∠BCA＝120°. ∵AD，CE分别是△ABC的角平分线， ∴∠HAC＋∠HCA＝60°， ∴∠AHC＝120°. ∴∠EHD＝∠AHC＝120°. ∴∠EBD＋∠EHD＝180°. ∴B，D，H，E四点共圆． (2)连结BH，则BH为∠ABC的平分线， ∴∠EBH＝∠HBD＝30°. 由(1)知B，D，H，E四点共圆， ∴∠CED＝∠HBD＝30°， ∠HDE＝∠EBH＝30°. ∴∠HED＝∠HDE＝30°