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京教版《25.2旋转变换》教学设计 北京市义务教育课程改革实验教材数学第18册 教学内容解析 指导思想与理论依据 新《课程标准》在义务教育的三个阶段都非常强调图形运动的教学，并且明确指出在数学教学中，应当注重发展学生的空间观念和几何直观.从课程内容的安排来讲，统筹地思考、恰当地引入图形运动和图形操作（包括几何作图）可以很好的落实几何直观的教育价值.同时课标在课程设计思路中指出，义务教育阶段数学课程设计要：“在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程.” 建构主义理论告诉我们，知识是学生自主建构的，不是老师给的，通过自己的探究与实践构建自身知识体系符合学生的认知发展规律.’在哪？ 问题2：点C到点C’的运动路线是什么？ 问题3：任意在OB’上取一点P’，对应点P在哪？ （4）旋转变换是可逆变换 旋转变换属于正交变换，是可逆变换的一种，虽然初中生的认知基础不足以理解，但还是可以根据下面的问题来渗透这一思想： 问题：如何从△OA’B’旋转得到△OAB？ 【设计意图】在剖析中加深对概念的理解 （二）观察操作，探索性质 运动前后图形全等，是平移和旋转所共有的特征，那么对于旋转变换而言，又有哪些特有的性质呢？下面我们类比上节课得到平移变换性质的方法，探讨旋转变换的性质. 1．动手操作，探索性质 动手操作1： 如图5，点A绕点O顺时针旋转90°，请作出点A的对应点A’. 请学生分析并展示作图方法，对于点的旋转可以根据概念借助圆规画出点的运动路径，并最终确定点A的对应点A’，如图6的图形. 动手操作2：如图7，利用直尺、圆规，以平面内任意一点为旋转中心O，任意选取旋转方向和旋转角，作出△ABC绕点O旋转之后的△A’B’C’ 在学生完成作图的基础上，请学生思考：结合作图过程，并观察图形，找出旋转前后的不变量. 分析：小组交流之后，请学生代表展示，展示之后适时追问，使学生明确下面的问题. 首先请学生思考：如何完成“从点的旋转到三角形的旋转”的作图问题？引导学生认识到：三角形旋转之后仍然得到与原三角形全等的三角形，故此只需确定顶点的对应点即可. 其次，旋转中心O的位置有三种：三角形外、三角形边上、三角形内.下面各图的旋转中心是点O，旋转方向是顺时针. 在学生展示的基础上，师生共同总结出结论： ①对应点到旋转中心距离相等； ②对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角. 2．从特殊到一般：验证结论，获得性质 类比平移变换性质的归纳过程，关于旋转变换性质的结论同样需要推广到一般情况，课上利用几何画板验证结论. （1）任意选取旋转中心，验证性质（几何画板演示） 教师引导学生有序思考，旋转中心可能在三角形外、上、内三种位置. ①点O在三角形外部 ②点O在三角形边上 ③点O在三角形内部 （2）任意改变旋转角，验证性质（几何画板演示） 教师引导学生有序思考，旋转角可能是锐角、直角、钝角、平角、优角等.改变旋转角的大小，观察图形，探讨结论是否成立，具体图形省略. （3）从三角形到其他平面图形 在动手操作1中，已经探讨了点的旋转，由此可以知道，对于平面图形上的每一个点来说，其旋转一定角度的图形都可以与操作1中类似，从而可以知道结论成立. 而任何一个平面图形都是由点构成的，根据上面的讨论，我们可以得出平面图形旋转变换的性质： ①对应点到旋转中心距离相等； ②对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角. 【设计意图】性质是通过观察特殊图形归纳得到的，并不要求学生进行严格的证明，而且学生现有的知识也不足以进行严格的证明，但是从学生自身的发展以及对数学思维的渗透角度来讲，需要让学生明确归纳得到的性质需要具有普适性，体会数学中从特殊到一般的思想方法，为进一步学习打下基础.此处采取的策略是师生共同分析，借助几何画板演示实现一般化的推广. （三）解决问题，巩固知识 例1 如图，△ABC是等边三角形，D是BC上一点，△ABD经过旋转后到达△ACE的位置.请回答： 旋转中心是哪一点？旋转了多少度？ 如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M的对应点是哪个点？ 如果N是AE的中点，那么点N是由哪个点旋转得到的？ 答案：（1）点A；逆时针旋转了60°；（2）AC的中点；（3）AD的中点 【设计意图】第（1）问是对旋转变换概念和性质的直接应用，学生容易得出.通过对第（2）问的思考，使学生进一步体会到旋转变换是“全等变换”，也就是说旋转前后图形上点与点的相对位置不会发生变化，从而对旋转变换不改变图形的形状和大小有更进一步的认识.通过第（3）问使学生体会到旋转变换是可逆变换，△A