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上册P314—316 习题解答 求下列曲线所围的图形面积 : ⑴ , , ; 解 D . S. ⑵ , ; 解 D . D关于X轴对称 . S . ⑶ , , , ; 解 D . S . ⑷ , , ; 解 D . S . ⑸ , , , ; 解 S . ⑹ 叶形线 ; 解 S . ⑺ 星形线 ; 解 参陈纪修《数学分析》上册P317图形⑹ , 利用对称性 , 有 S . ⑻ 圆的渐开线 ; 解 S . ⑼ Archimedes 螺线 , , ; 解 S . ⑽ 对数螺线 , , ; 解 S . ⑾ 蚌线 , ; 解 S . ⑿ , ; 解 圆与心脏线的交点的极角为方程的解 , 即 . 圆与心脏线的公共部分的面积为 S . ⒀ 双纽线 ; 解 参陈纪修《数学分析》上册P318图形⑾ , 利用对称性 , 有 S . ⒁ Descartes叶形线 ; 解 参陈纪修《数学分析》上册P319图形 ⒀ . 令 , , 代入原方程 , 得, . S =. ( 本题计算涉及下章将要介绍的无穷积分 ). ⒂ ; 解 令, , 代入原方程 , 得 , . 以代替, 或以代替,方程不 , 可见图形上下、左右均对称 . 利用对称性 , 有 S . 现计算积分. 令,利用上一习题第5题第⑹题的有关结果 ( 解 答在P266 ) ,有 . 于是 , S . ( 本题计算涉及下章将要介绍的反常积分 ). ⒃ 四叶玫瑰线 . 解 参陈纪修《数学分析》上册P318图形⑽ . 有 S . 求由抛物线与过其焦点的弦所围的图形面积的最小值 . 焦点为,不妨设. 过抛物线上横坐标为且在X 点与焦点的弦为 ,.即 . 也成立 .该弦与抛物线的两个交点的纵坐标分别为 和 . 有 , ,, , . ( 注意下式对也成立 ) . . , 注意, 解得唯一驻点. 该问题有最小值 , 因此为最小值点 , . 即由抛物线与过其焦点的弦所围的图形的最小面积为. : ⑴ , ; 解 . ⑵ , ; 解 . ⑶ , ; 解 . ⑷ 星形线 ; , . 由对称性 ( 参陈纪修等编《数学分析》上册P317图⑹ ), 有 . 圆的渐开线 ; , . . ⑹ 心脏线 , ; . 由对称性 , 有 . Archimedes 螺线 , ; 解 . ⑻ , . 解 . . 上式最后的积分最终表为第二型椭圆积分 ,不能有限表达 . 参阅江泽坚 、吴智泉 、 周光亚P243—244 . 本题倘为 , . 则计算不会涉及椭圆积分 : . , 求分该拱的长度为 1 : 3 的点的坐标 . 旋轮线第一拱方程为 , ,( ).( 参 陈纪修《数学分析》上册P317图形⑸ ). 第一拱上从起点的点 , 相应的弧长 . 因此 , 第一拱的弧长为 . , 解得 , ( ). = . 因此 , 在旋轮线的第一拱上 , 是分该拱的长度为 1 : 3的点 . : ⑴ 正椭圆台 : 上底是长半轴为的椭圆 ，下底是长半轴为 的椭圆 , ), 高为; 解 用垂直于高的平面截该立体 , 易见截面是椭圆 . 和, , 截面椭圆的面积为 =. 因此该立体的体积为 . 椭球体 ; 用过X轴上的点 ,且垂直于X , 截面为椭圆 , 截面面积 . , 其体积为 . 直圆柱面 和 所围的几何体 ; 由对称性 ,该立体的体积为其在第一卦限中的体积的8倍 . 用过X ,且垂直于X , 在第一卦限中的截面是一个边长为 , 截面面积 . 因此 , 体积为 . 球面和直圆柱面所围的几何体 . 该几何体在X