热学第二章论述.pptVIP

第二章 平衡态系统的统计分布率(Statistics in equilibrium systems) 数学工具：高斯积分 可以得到速率分布满足归一性 最概然速率：f(v) 的极大值。 平均速率： 方均速率： 方均根速率： 实验检验 (包科达书 p87) 三、从M-B 分布到麦克斯韦速度分布 M-B 分布： 定义配分函数 由于 理想气体的平均动能为： 配分函数： 利用理想气体状态方程与压强公式： 带入 M-B 分布。为之处于 x, y, z, 动量处于px, py, pz 的粒子数为 麦克斯韦速度分布 由此可知： 麦克斯韦速度分布与麦克斯韦速率分布都是最大概然分布。 它们在系统处于平衡态时才成立。 四、应用 1、逃逸速率 计算在 0 0C 时 N2, O2, H2 的气体分子均方根速率。MN2=28g/mol, MO2=32g/mol, MH2=2/mol。 代入 与粒子的逃逸速度相比。 逃逸速度：分子动能等于星球引力势能 用 做速度单位，引出无量纲速率： 计算无量纲速率大于 k 的气体分子比率。 误差函数。 例如在地球上： 2、泻流速率 泻流：对面积为dS的小孔，当dS的线度小于粒子的平均自由程时，粒子束流从小孔dS射出的现象称为泻流，用 表示。 分析：在 dt 时间内碰到器壁 dS 上的粒子数为 不同质量的物质泻流量不一样。经过泻流质量小的物质得到富集。 例：235U, 238U 分离。气体物质：UF6。天然丰度：235U: 99.3%, 238U: 0.7%。 一次泻流： 要想富集到 99% 235U: 第五节 波尔兹曼分布的一般形式 一、重力场中微粒按高度的等温分布律 高度z附近、厚度为dz、面积为dS的方框中的气体，平衡时 对于理想气体： 等温条件 以上推导的是理想气体系统在无外力场情况下的平衡态的分布。推广：理想气体在有外力场情况下的平衡态分布。 代入上式 解得： 代入理想气体方程： —— 等温气压公式 小框中粒子的数目为 底面积为dS的柱体中的微粒总数为 重力场中微粒按高度的分布律为 二、玻尔兹曼密度分布律 根据重力场中微粒按高度的分布中的 为重力势能，玻尔兹曼将之推广到任意外场，得到 此即 波尔兹曼密度分布律。 例如：回转体中的微粒 龙卷风、台风、飓风等有眼，呈漏斗状。 不同质量的分子在 r 上的分布不同，可以用于物质分离。 * 第一节 无序系统 (disorder system) 热学系统微观运动的无规律性，使得我们不能用确定性的物理语言去描述。（例：三体问题） 如果系统的微观运动是完全无序的（平衡态），它正好能用另外一套数学语言去研究。这就是概率论与数理统计。 在完全无序这一假设下得到的关于微观无序系统的一些物理规律，就是平衡态系统的统计规律。 判据：统计规律的宏观表现应符合试验结果。（例：状态方程，扩散方程） 例一、醉鬼问题 一个最初站在一个路灯下醉鬼忽然想起来走一走，我们想知道他走了 M 步后里路灯的距离。 基本假设：醉鬼走的方向完全不可预计。 设 Xi, Yi 是醉鬼第 i 步位移在 X, Y 方向上的投影，在第 M 步后，他离路灯距离 R 为： Xi 完全随机，Xi 与 Xj 完全独立。 设醉鬼的步长为1。 讨论 统计性质。计算只能给出醉鬼最有可能的距离。计算结果不意味我们肯定在 的位置上找到醉鬼，而只意味着在这些位置上找到他的几率最大。这并不排除在其他位置上找到醉鬼的可能性。 各态历经。如果有一群醉鬼同时开始游动，在 位置上找到醉鬼的数目最多。它与一个醉鬼重复多次游走的结果一致。 统计误差。只用平均值不能反映醉鬼的行为，必须在计算中引入 计算的不确定性。 统计误差的规律： N 为醉鬼个数。 统计规律。微观上（单个进程）千变万化，宏观上（重复进行）有一定数值和规律的现象为统计规律。 伽尔顿板实验 过程： （重复）两步： (1) 单个小球下落 (2) 多个同时下落 结果： 第一步，完全随机。第二步，有规律分布。 如：理想气体的压强、温度、等等。 例二、布朗运动 (Einstein 1905, Smoluchowski 1906, Langevin 1908) 基本图像：粒子受无序驱动力驱动在流体中运动。 牛顿定律： 对直角坐标系中任一方向，记 条件： 自由能均分原理 数学技巧： 做平均后=kBT 做平均后=0 解微分方程得： 分析迟豫时间： 在1微秒以后后项可以被忽略。 Einstein 扩散系数 和醉鬼一样 第二节 概率论简介 一、事件及其概率 事件： 随机实验中，对试验可能出现的事情称为事件。