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信号与系统复频域分析 信号复分析 系统复分析 系统函数与特性 系统模拟 一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 定义 二、收敛域 例1 因果信号f1(t)= e?t U(t) ，求拉氏变换。 例2 反因果信号f2(t)= e?tU(-t) ，求拉氏变换。 例3 双边信号求其拉普拉斯变换。 例4 求下列信号的双边拉普拉斯变换。 三、单边拉氏变换 一、线性性质 二、尺度变换 三、时移特性 例2:已知f1(t) ←→ F1(s), 求f2(t)←→ F2(s) 四、复频移（s域平移）特性 五、时域的微分特性（微分定理） 举例 六、时域积分特性（积分定理） 例2:已知因果信号f(t)如图 ,求F(s) 七、卷积定理 八、s 域微分和积分 九、初值定理和终值定理 一、零、极点的概念 二、拉氏逆变换的过程 部分分式展开 假分式情况： 第二种情况：极点为共轭复数 另一种方法 第三种情况：有重根存在 （4）复重根 例1： 例2： 拉普拉斯逆变换 直接利用定义式求反变换---复变函数积分，比较困难。 通常的方法 : （1）查表 （2）利用性质 （3） 部分分式展开 -----结合 若象函数F(s)是s的有理分式，可写为 若m≥n （假分式）,可用多项式除法将象函数F(s)分解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。 由于L- 1[1]=?(t)， L -1[sn]=?(n)(t)，故多项式P(s)的拉普拉斯逆变换由冲激函数构成。 下面主要讨论有理真分式的情形。 若F(s)是s的实系数有理真分式（mn)，则可写为 分解 零点 极点 求F(s)的极点 将F(s)展开为部分分式 查变换表求出原函数f(t) 1.第一种情况：单阶实数极点 作长除法 例2 * * 频域分析以虚指数信号ejωt为基本信号，任意信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解得到简化。物理意义清楚。但也有不足： （1）有些重要信号不存在傅里叶变换，如e2tu(t); （2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。 在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域来解决这些问题。 本章引入复频率 s = σ+jω，以复指数函数est为基本信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。这里用于系统分析的独立变量是复频率 s ，故称为s域分析。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。 有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。为此，可用一衰减因子e-?t(?为实常数）乘信号x(t) ，适当选取?的值，使乘积信号x(t) e-?t当t?∞时信号幅度趋近于0 ，从而使x(t) e-?t的傅里叶变换存在。 相应的傅里叶逆变换为: X(?+j?)= ?[ x(t) e-?t]= 令s = ? + j?，d ?=ds/j，有 双边拉普拉斯变换对 X(s)称为x(t)的双边拉氏变换（或象函数）， x(t)称为X(s) 的双边拉氏逆变换（或原函数）。 FT: 实频率 是振荡频率 LT: 复频率S 是振荡频率， 控制衰减速度 只有选择适当的 ? 值才能使积分收敛，信号 x(t) 的双边拉普拉斯变换存在。 使 x(t)拉氏变换存在?的取值范围称为X(s)的收敛域。 下面举例说明X(s)收敛域的问题。 解 可见，对于因果信号，仅当Re[s]=??时，其拉氏变换存在。 收敛域如图所示。 收敛域 收敛边界 解 可见，对于反因果信号，仅当Re[s]=??时，其拉氏变换存在。 收敛域如图所示。 求其拉普拉斯变换。 解 其双边拉普拉斯变换 Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s) 仅当??时，其收敛域为 ?Re[s]?的一个带状区域，如图所示。 f1(t)= e-3t ?(t) + e-2t ?(t) f2(t)= – e -3t ?(–t) – e-2t ?(–t) f3(t)= e -3t ?(t) – e-2t ?(– t) 解 Re[s]= ? – 2 Re[s]= ? – 3 – 3 ? – 2 可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必须标出收敛域。 通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标原点。这样，t0时，x(t)=0。从而拉氏变换式写为 称为单边拉氏变换。简称拉氏变换。其收敛域一定是Re[s]? ，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。 单边拉氏变换 简记为 X(s)=L[x(t)] x(t)=L-1[X(s)] 或 x(t)←→ X(s) 常用信号的单边拉氏变换 1、 2、 u(t) 3、 常用信号的单边拉氏变换 4、 常用信号的单边拉氏变换 5、 函数 常用信号