傅立叶级数超解读.pptVIP

高等数学 附录3 傅立叶级数 或任何 )上给出的、且满足Dirichlet条件 的函数 ,也可以将其展为以 为周期的Fourier 级数.步骤如下： (1)将 延拓成在整个数轴有定义的以 为周 期的、且满足Dirichlet条件的函数 ； 4.对于只在长为 的区间 (如 ,或 (2)求出 的Fourier级数，它在 上的限制就 是 的以 为周期的Fourier级数. 注意: Fourier级数的和函数在 的端点处的值 相等，且 (3)实际做展开时,没有必要将 的图形画 出,更没有必要写出 的解析表达式(通常很难), 这是因为 于是 三、正弦级数与余弦级数 1.奇函数与偶函数的Fourier级数 定理 * * 附录3 傅里叶级数 本节介绍将函数 展为三角级数，即 一、物理背景 1.具有倍频率的简谐振动的叠加 简谐振动是最简单的振动，在适当坐标 系中，可用我们熟悉的正弦函数表示为 设有一系列的简谐振动 序列(1)称为具有倍频率的简谐振动列， 显然第1个简谐振动的周期 是序列(1) 的公共周期. 序列(1)中的任意两个简谐振动的叠加， 已不再是简谐振动了.比如两个同振幅、同 初相但不同频率的简谐振动 2.周期振动的分解—谐波分析 采用“逆向思维”，可知我们实际上解决 了上述问题的反问题：将一个周期运动分解 为一系列简谐振动的叠加，从而通过简谐振 动来把握一般的、复杂的周期振动.在物理 学的许多领域(力学、电工、电讯等)正是这 样做的.人们称之为“谐波分析”. 谐振分析，在数学上就是将一个周期函 数展为三角级数.为此，至少要解决下面两 个问题： 二、 Fourier系数与Fourier级数 利用三角函数系的正交性，很容易确定三角 级数 的系数 1.三角函数系的正交性 (1)定义5.1 设函数系 在 (2)三角函数系 即任意两个不同函数乘积在 上的积分均为0. 此外，还有 2. Fourier系数 两边积分得(注意三角函数系的正交性) 两边同乘以 后，积分得 两边同乘以 后，积分得 2. Fourier级数 以 的Fourier系数为系数的三角级数称为 的Fourier级数，记为 由上面的分析可知： 例1 设 所以 注意：以上只是形式地求出了函数的Fourier级 数，至于函数要满足的条件，以及级数的收敛性、 和函数等，均未涉及，故记为 3. Fourier级数收敛的Dirichlet条件 定理 (收敛定理， Dirichlet条件) Dirichlet条件，即 (1)连续或至多有有限多个第一类间断点； (2) 至多只有有限多个极值点； 则 的Fourier级数处处收敛，且和函数为 即 证明从略. 显然这是一个充分性条件，但这也是一个很宽 松的条件，以至于科学和工程技术中出现的函数 大都能够满足. 例2 求例1中Fourier级数的和函数 解 由收敛定理，得 并画出和函数的图形. 若令 ，得