第3章平面问题的有限单元法.pptVIP

在有限元法中，整体刚度矩阵的阶数通常是很高的，在解算时常遇到矩阵阶数高和存贮容量有限的矛盾。找到整体刚度矩阵的特性达到节省存贮容量的途径。 2、整体刚度矩阵的特点： 1)、对称性。 只存贮矩阵的上三角部分，节省近一半的存贮容量。 3-6 总体刚度矩阵的集成 2)、稀疏性。 矩阵的绝大多数元素都是零，非零元素只占一小部分。 结点5只与周围的六个结点(2、3、4、6、8、9)用三角形单元相连，它们是5的相关结点。 3-6 总体刚度矩阵的集成 只有当这七个相关结点产生位移时，才使该结点产生结点力，其余结点发生位移时并不在该结点处引起结点力。 因此，在矩阵[K]中，第5行的非零子块只有七个(即与相关结点对应的七个子块)。 上图中，矩阵[K]的非零元素分布在以对角线为中心的带形区域内，称为带形矩阵。 3)、带形分布规律。 在半个带形区域中(包括对角线元素在内)，每行具有的元素个数叫做半带宽，用d表示。 半带宽的一般计算公式是： 半带宽 d = ( 相邻结点码的最大差值 + 1 ) * 2 右图中相邻结点码的最大差值为4，故d=(4+1)*2=10 利用带形矩阵的特点并利用对称性，可只存贮上半带的元素，叫半带存贮。 3-6 总体刚度矩阵的集成 半带存贮时从[K]中取出上半带元素，按图(b)中的矩阵 的排列方式进行存贮，即将上半部斜带换成竖带。 矩阵[K] 矩阵 对角线 第1列 r行 r行 r列 45度斜线 r行s列 r行s-r+1列元素 元素 图(a)中的矩阵[K]为n行n列矩阵，半带宽为d。 存贮量n*d，存贮量与[K]中元素总数之比为d/n，d值越小，则存贮量越省。 1、在[K]中，第2n-1行的对角线元素 改为1， 3、在{P}中，第2n-1个元素 改为0。 先考虑结点n有水平0位移约束的情况。 整体刚度矩阵[K] ，结构的结点力{P}求出后，有限元基本方程可表示为 3-7 支承条件的处理 4、为了保持[K]的对称性，第2n-1列全部非对角线元素也改为0。 需根据支承条件对上述方程进行处理。 方法1：主元改1法 与结点n水平方向对应的是总刚的第2n-1行(第2n-1个方程)。 2、在[K]中，第2n-1行全部非对角线元素改为0。 同理，如果结点n有竖直0位移约束， 在矩阵[K]中，第2n行的对角线元素改为1， 第2n行全部非对角线元素改为0， 第2n列全部非对角线元素也改为0。 在{P}中，第2n个元素改为0。 则 图示结构，结点1有水平支杆，结点2有两个支杆，结点3有竖向支杆。 对支承条件处理后，矩阵修改为： 1、主元 乘以一个大数A ( 例如A=1010 )； 考虑支点n的水平位移 为已知非零值 的情况，这时的支承条件为: 对于支点的竖向位移 的支承条件，也可用同样的方法进行修改。 方法2：主元乘大数法 实际上，上式中除包含大数A的两项外，其他各项相对地都比较小，可以忽略不计，因此与支承条件等价。 对总刚的第2n-1个方程作如下修改： 2、右边自由项换成 ； 3、其余各项保持不变。 即有： * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 3-1 有限单元法的标准过程回顾 3-2 单元位移函数 3-3 单元应变矩阵[B] 3-4 单元刚度矩阵[K] 3-5 单元载荷移置 3-6 总体刚度矩阵的集成 3-7 支承条件的处理 步骤1：离散化 3-1 有限单元法的标准过程回顾(review) 把物体分成有限大小的单元，单元间用结点相连接。 对于平面问题，最简单的单元是三角形单元。这些单元在结点处用铰相连，荷载也移置到结点上，成为结点荷载。 步骤2：单元分析(三角形单元) 2.1、单元内部各点的位移近似用结点位移来描绘(位移模式) 单元刚度矩阵 和单元载荷向量 问题1： 如何构造位移模式 问题2： 如何得到[B]、[K] 问题3：如何载荷移置 2.2 步骤6：求单元内力 步骤5：方程求解(《计算方法》已学) 步骤3：单元组装( 总刚集成) 步骤4：施加边界条件 问题4：如何组装单元 问题5：如何施加边界条件 问题6：如何求内力？ 有待解决的问题