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01_04_倒格子 —— 晶体结构 §1.4 倒格子 —— 晶格具有周期性，一些物理量具有周期性 势能函数 势能函数是以 为周期的三维周期函数 根据原胞基矢定义三个新的矢量 —— 倒格子基矢量 以 为基矢构成一个倒格子 倒格子每个格点的位置 —— 倒格子矢量 倒格子基矢的性质 原胞里任一点 傅里叶级数 宗量 晶格周期性函数 为整数 —— 倒格子空间是正格子的倒易空间 —— 周期性函数可以展开为傅里叶级数 由倒格子基矢 得到 代入 —— 积分在一个原胞中进行 得到 二. 倒易点阵和晶体点阵之间的关系： 倒易点阵是从晶体点阵（以后简称正点阵）中定义出的，可以方便地证明它和正点阵之间有如下关系： 2. 两个点阵的格矢之积是 的整数倍： 3. 两个点阵原胞体积之间的关系是： 4. 正点阵晶面族 与倒易点阵格矢 相互垂直， 1. 两个点阵的基矢之间： 且有： 2. 证明： （m 为整数） 1. 证明：根据矢量运算规则，从倒格矢定义即可说明。 3. 证明见习题1.11 4. 证明：先证明倒格矢 与正格子的晶面系 正交。 如图所示，晶面系 中最靠近原点的晶面（ABC） 在正格子基矢 的截距分别为： 于是： 同理 而且 都在（ABC)面上， 所以 与晶面系 正交。 晶面系的面间距就是原点到ABC面的距离，由于 可以证明： 由此我们得出结论：倒易点阵的一个基矢是和正点阵晶格中的一族晶面相对应的，它的方向是该族晶面的法线方向，而它的大小是该族晶面面间距倒数的2π倍。又因为倒易点阵基矢对应一个阵点，因而可以说：晶体点阵中的晶面取向和晶面面间距这 2 个参量在倒易点阵里只用一个点阵矢量（或说阵点）就能综合地表达出来。 5. 正点阵和倒易点阵是互易的：由正点阵 给出倒易 点阵 现假定 为正点阵，则其 倒易点阵根据定义为： 利用三重矢积公式： 可以得到： 又因为： 所以： 同样可以证明： 三. 倒易点阵（Reciprocal lattice）的物理意义： 倒易点阵的物理意义和在分析周期性结构和相应物性中作为基本工具的作用，需要我们在使用中逐步理解。 当一个点阵具有位移矢量 时，考虑到周期性特点，一个物理量在 r 点的数值 也应该具有周期性： 两边做Fourier展开，有： 显然： 即： 既然 是正点阵的格矢，符合该关系的 就是倒易点阵的格矢。所以，同一物理量在正点阵中的表述和在倒易点阵中的表述之间服从Fourier变换关系。 实际上，晶体结构本身就是一个具有晶格周期性的物理量，所以也可以说：倒易点阵是晶体点阵的Fourier变换，晶体点阵则是倒易点阵的Fourier逆变换。因此，正格子的量纲是长度 l, 称作坐标空间，倒格子的量钢是长度的倒数 l-1，称作波矢空间。例如：正点阵取cm,倒易点阵是cm-1, 下面我们将看到： 晶体的显微图像是真实晶体结构在坐标空间的映像。 晶体的衍射图像则是晶体倒易点阵的映像。 倒易点阵是在晶体点阵（布拉菲格子）的基础上定义的，所以每一种晶体结构，都有 2个点阵与其相联系，一个是晶体点阵，反映了构成原子在三维空间做周期排列的图像；另一个是倒易点阵，反映了周期结构物理性质的基本特征。 倒格子基矢是从点阵基矢引出的，它们之间的联系需要我们通过具体实例来理解：根据右面定义， 四. 倒易点阵实例： 显然 ： 左图是一个二维斜方点阵和它的 倒易点阵， 简立方点阵： 倒易点阵仍是简立方点阵： 六角点阵的倒易点阵： 见Ashcroft p88 六角点阵： c 轴方向不变，a轴在垂直于c 轴的平面上旋转30度。 所以倒格子也是布拉菲格子。