第三章换面法.docVIP

换面法 第一节 更换投影面的基本概念 问题的提出 ★ 如何求一般位置直线的实长？ ★ 如何求一般位置平面的真实大小？ 解决方法：更换投影面。 一、更换投影面的目的 空间几何要素对投影面处于特殊位置，某些度量问题（如实形、距离、夹角等）的答案可在投影图中直接反映，在解决定位问题（如交点、交线、垂足等 ）时，问题可简化。 当空间几何要素对投影面处于一般位置时，解题过程繁琐。利用更换投影面的方法，改变几何要素对投影面的相对位置，从而有利于解题，是更换投影面的目的。 换 面 法： 物体本身在空间的位置不动，而用某一新投影面（辅助投影面）代替原有投影面，使物体相对新的投影面处于解题所需要的有利位置，然后将物体向新投影面进行投射。 主要内容 1、换面法的目的、概念、基本原则。 2、点的投影变换规律。 3、基本作图问题： 1）一般位置直线 投影面平行线 2）一般位置直线 投影面垂直线 3）一般位置平面 投影面垂直面 4）一般位置平面 投影面平行面 二、建立新投影面体系 1、更换投影面：空间几何要素位置不动，用新的投影面代替旧的投影面，从而建立新的投影面体系，使空间几何要素对投影面处于有利于解题的位置。 2、基本原则： 1）新设的投影面（V1或H1）必须垂直于一个原有的（V或H）投影面，以保证形成新的两投影面体系，继续使用正投影规律。 2）新投影面必须和空间几何要素处于有利于解题的位置。 第二节 点的投影变换规律 更换面法首先要解决，根据原有投影怎样求新投影的问题。点是最基本的几何要素，先分析点是如何由原有投影求新投影？ 一、更换正立投影面 更换正立投影面时点的投影变换情况： Aa aax a1ax1 ；aa ox 、a a1 o1x1 点的投影变换规律： 1、点的新投影和不变投影的连线垂直于新投影轴； 2、点的新投影到新轴的距离等于旧投影到旧轴的距离。 二、更换水平投影面 更换水平投影面时点的投影变换规律： Aa aax a1ax1 ；aa ox 、a1a o1x1 三、连续两次更换投影面 变换两次投影面时，求点的新投影的原理和方法和变换一次投影面相同 当连续两次更换投影面时，必须使V面与H面交替进行变换，不能连着变换同一个投影面。 第三节 基本作图问题 归纳为四种： 一般位置直线变换为投影面平行线（1次） 一般位置直线变换为投影面垂直线（2次） 一般位置平面变换为投影面垂直面（1次） 一般位置平面变换为投影面平行面（2次） 一、将一般位置直线变换为投影面平行线 例：求直线AB实长及其对H面的倾 二、将一般位置直线变为投影面垂直线 先设新投影面将直线变换为投影面的平行线，再次设新投影面将平行线变换为投影面的垂直线 三、将一般位置平面变换为投影面垂直面 四、将一般位置平面变换为投影面平行面（2次） 投影面的平行面定义： 只平行一个投影面，并在该面内反映实形，同时垂直另外两个投影面，投影为积聚性的线。 先设新投影面将三角形平面变换为投影面的垂直面，再次设新投影面将垂直面变换为投影面的平行面，以求得实形。 一般位置平面 1次 投影面垂直面 2次 投影面平行面 ★当连续两次更换投影面时，必须使V面与H面交替进行变换。 第四节 换面法应用举例 一、应用换面法解题的步骤 1、空间分析，确定空间几何要素与新投影面应处于何种位置有利于解题。 2、根据换面法基本作图方法，确定变换次数和变换步骤，具体作图。 二、应用举例 例1：用换面法求点M到一般位置直线AB的距离。 两种方法 例2：求点S到三角形ABC平面的距离 应作出垂足的投影 。 例3、求AMN和BMN两平面的夹角。 例4：求两交叉直线AB和CD间的距离