第3章线性方程组迭代法学案.ppt

定义2：设A为n 阶方阵，Rn中已定义了向量范数 ， 则称 为由向量范数导出的矩阵范数或模， 记为 。 矩阵范数与向量范数的相容性： ||Ax ||v ? ||A|| M ·||x || v，?x? Rn 定理3：设n 阶方阵A = (aij)n?n，则 （Ⅰ）与 相容的矩阵范数是 （Ⅱ）与 相容的矩阵范数是 其中?1为矩阵ATA的最大特征值。 （Ⅲ）与 相容的矩阵范数是 （行和范数） （列和范数） （谱范数 ( spectral norm ) ） 矩阵范数的基本性质： （1）当A = 0时， ＝0，当A ? 0时， 0 （2）对任意实数和任意A，有 （3）对任意两个n阶矩阵A、B有 （4）对任意向量X?Rn，和任意矩阵A，有 A 的范数与A 的特征值之间的关系 定理4：矩阵A 的任一特征值的绝对值不超过A的范数。 定义3：矩阵A 的诸特征值的最大绝对值称为A的谱半径， 记为： 定义：若方程组Ax=b的系数矩阵A与右端向量b的微小变化（小扰动）,将引起解向量x产生巨大变化，则称此方程组为病态方程组，其系数矩阵A称为病态矩阵，否则称Ax=b为良态方程组，称A为良态矩阵 . 方程组的病态程度与Ax=b对A和b的扰动的敏感程度有关。 方程组的病态与良态 是关键的误差放大因子，称为A的条件数， 记为cond (A) ,越大， 则 A 越病态，难得准确解。 注: 1）cond (A) 的具体大小与 || · || 的取法有关，但相对大小一致，常用的范数为: 2）cond (A) 取决于A，与解题方法无关。 cond ?(A) =||A||? ||A-1||? cond 1(A) =||A||1 ||A-1||1， cond 2(A) 特别地，A为对称矩阵时， （1）A可逆，则 cond p (A) ? 1； （2）A可逆，? ? R 则 cond (? A) = cond (A) ； （3）A正交，则 cond 2 (A) =1； （4）A可逆，R正交， 则 cond 2 (RA) = cond 2 (AR) = cond (A)2 。 条件数的性质： 精确解为 例 计算cond 2(A) 。 A?1 = 解：考察 A 的特征根 39206 1 定义2 设有矩阵序列 及 ，如果 则称 收敛于A，记为 定理1： ? 若 ，称该迭代法收敛，否则称该迭代法发散 定义1 §3.3 收敛性分析 定义3：（收敛矩阵） 定理2： ?至少存在一种从属范数||·||1 定理3 迭代法收敛的充要条件是迭代矩阵B的谱半径 由迭代法收敛定义可得： 所以，序列收敛 与初值的选取无关 定理4（迭代法收敛的充分条件） 若迭代矩阵B的某种范数||B||1，则迭代法收敛。 1.Jacobi迭代法与G-S迭代法收敛性 Jacobi 迭代法收敛 G-S迭代法收敛 定理1 定理2：若 AX=b 的系数矩阵A∈R n?n为严格对角占优阵，则解此方程组的雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法都收敛。 定理3：若 AX=b的系数矩阵 A∈R n?n 为对称正定矩阵，则解此线性方程组的高斯-赛德尔迭代法收敛；Jacobi迭代收敛的充要条件为矩阵2D-A也对称正定 注意的问题 （2）Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛性没有必然的联系： 即当Gauss-Seidel法收敛时，Jacobi法可能不收敛； 而Jacobi法收敛时， Gauss-Seidel法也可能不收敛。 （1）Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵不同： BJ =D-1(L+U), B G-S = (D-L) -1U 用Jacobi迭代法求解收敛，但用 G-S法不收敛。 BJ的特征值为0,0,0,而BG－S的特征值为0,2,2. 例 系数矩阵A是正定矩阵，因此用 Gauss-Seidel法收敛 不是正定矩阵，因此用 Jacobi迭代法不收敛 A是有正对角元的n阶对称矩阵 例 定理2 若SOR方法收敛, 则0?2. 证 设SOR方法收敛, 则?(B?)1,所以 |det(B?)| =|?1?2… ?n|1 而 det(B?) =det [(D-?L)-1 ((1-?)D+?U)] =det[(E-?D-1L)-1 ]det[(1-?)E+?D-1U)] =(1-?)n 于是 |1-?|1,