《数学分析》第十章定积分的应用.docVIP

第十章 定积分的应用 （ 8 时 ） §1 平面图形的面积 （ 2 时 ） 直角坐标系下平面图形的面积 ： 1 简单图形：型和型平面图形 . 2简单图形的面积: 给出型和型平面图形的面积公式. 对由曲线和围成的所谓“两线型”图形, 介绍面积计算步骤. 注意利用图形的几何特征简化计算. 例1 求由抛物线 与直线 所围平面图形的面积. 3参数方程下曲边梯形的面积公式：设区间上的曲边梯形的曲边由方程给出.又设,就有↗↗, 于是存在反函数 . 由此得曲边的显式方程 . , 亦即 . 具体计算时常利用图形的几何特征 . 例2 求由摆线的一拱与轴所围平面图形的面积. 求椭圆所围平面图形的面积. 二 极坐标下平面图形的面积: 推导由曲线 和射线 所围“曲边扇形”的面积公式 . 简介微元法，并用微元法推导公式.半径为, 顶角为的扇形面积为 . . 例4求由双纽线 所围平面图形的面积 . 解 或. 可见图形夹在过极点, 倾角为的两条直线之间 . 以代 方程不变图形关于轴对称;以代, 方程不变, 图形关于轴对称. 参阅[1]P24 图 因此 . Ex [1]P242 1—6. §2 由平行截面面积求体积 （ 2 时 ） 一 已知平行截面面积求体积求立体的体积:设截面面积为推导出该立体之体积: . 祖暅原理: 夫叠棊成立积,缘幂势即同则积不容异. 祖暅系祖冲之之子,齐梁时人, 大 约在五世纪下半叶到六世纪初 例1 求由两个圆柱面 和 所围立体体积 . [1]P244 E1 例2 计算由椭球面 所围立体 椭球 的体积 . [1] P342 E2 二 旋转体的体积: 定义旋转体并推导出体积公式. . 例3 推导高为, 底面半径为的正圆锥体体积公式. 例4 求由曲线和所围平面图形绕轴旋转所得立体体积. 例5 求由圆绕轴一周所得旋转体体积. 1000 例6 轴正半轴 . 绕轴旋转 . 求所得旋转体体积. Ex [1]P246 1，2，3. §3 平面曲线的弧长 1 时 一. 弧长的定义: 定义曲线弧长的基本思想是局部以直代曲,即用折线总长的极限定义弧长.可求长曲线. 二. 弧长计算公式:光滑曲线的弧长.设，， 又，和在区间上连续可导且. 则上以和为端点的弧段的弧长为 . 为证明这一公式,先证以下不等式:对,有 , Ch 1 §1 Ex 第5题 P4 .其几何意义是:在以点和为顶点的三角形中,两边之差不超过第三边. 事实上， . 为证求弧长公式,在折线总长表达式中, 先用Lagrange中值定理, 然后对式插项进行估计.参阅 [1]P247. 如果曲线方程为极坐标形式连续可导,则可写出其参数方程.于是 . 例1 — 3 [1] P249—250 E 1—3. Ex [1] P352 1. §4 旋转曲面的面积 1 时 用微元法推出旋转曲面的面积公式:曲线方程为时，；曲线方程为 时，. 例1—2 [1] P254—255 E 1—2. Ex [1] P255 1—3. §5 定积分的物理应用举例 2 时 例1—4 [1] P255—259 E 1—2. Ex [1] P259 1—10. 1 90