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1955年试题 一、下列四题顺次解答,不必抄题（但须写明题号:甲,乙,丙,丁）.结果务须明确,过程可以简单. 甲、以二次方程x2-3x-1 0的两根的平方为两根作一二次方程. 乙、等腰三角形一腰的长是底边的4倍,求这三角形各角的余弦. 丙、已知正四棱锥底边的长为a,侧棱与底面的交角为45°,求这棱锥的高. 丁、写出:二面角的平面角的定义. [Key] 一、甲、设方程x2-3x-1 0的二根为α,β, 则 α+β 3, αβ -1. ∴ 所求的二次方程为. 乙、设△ABC中AB AC 4BC,AD为BC边上的高,则各角的余弦为: 丙、设S-ABCD为一正四棱锥,SH为其高,底边的长 为a,∠SAH 45°, 则 △SHA为一等腰直角三角形, 即 SH AH. 但 AH为其底的对角线的一半,且其底边的长为a, 丁、自二面角的棱上一点在其各面上作棱的垂线,此二垂线所夹的角叫做该二面角的平面角. 二、求b,c,d的值,使多项式适合下列三条件: 1 被x-1整除; 2 被x-3除时余2; 3 被x+2除与被x-2除时余数相等. [Key] 二、解:∵可被x-1整除. ∴ 1+b+c+d 0; ① ∵ 被x-3除余2, ∴ 27+9b+3c+d 2; ② ∵ 被x+2除与被x-2除时余数相等, ∴ -8+4b-2c+d 8+4b+2c+d, ③ 由③: c -4. 代入①和②: b+d 3, ④ 9b+d -13. ⑤ 由④和⑤: 8b -16, b -2, d 5. ，，． 三、由直角三角形勾上一点D作弦AB的垂线交弦于E、交股的延长线于F、交外接圆周于Q,求证:EQ为EA与EB的比例中项又为ED与EF的比例中项. [Key] 三、证:连结QA,QB,则∠AQB为一直角,而EQ为直角三角形AQB弦上的高, ∴ EQ为EA,EB的比例中项, 又 ∵ ∠1 ∠2.（均与∠ABF互余） ∴ △AED∽△FEB, ∴ EA∶EF ED∶EB, ∴ EA·EB EF·ED, ∴ EQ2 EF·ED, 即 EQ为ED与EF的比例中项. 四、解方程cos2x cosx+sinx,求x的通值. [Key] 四、解:cos2x cosx+sinx. cos2x-sin2x cosx+sinx. cosx+sinx cosx-sinx-1 0, cosx+sinx 0, ① cosx-sinx-1 0,② 由①：，，； 由②：， 或， 五、一个三角形三边的长成等差级数,其周长为12尺,面积为6平方尺,求证这个三角形为一直角三角形. [Key] 五、证明:设△ABC即此三角形,CA、AB、BC各边的长为 x尺, x-y 尺, x+y 尺. 则 x＋y＋x＋x-y 12 ① 由①得x 4. ③ 由②及③得6 6-4-y 6-4 6-4+y 36, 12 2-y 2+y 36,4-y2 3,y2 1,∴y ±1, 故此三角形各边的长为3尺,4尺,5尺. ∵ 32+42 52 ∴ △BAC为一直角三角形.