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1954年试题 一、下列六题顺次解答,不必抄题（但须写明题号:甲,乙,丙,……）.结果务须明确,过程可以简单. 甲、化简 乙、解． 丙、用二项式定理计算，使误差小于． 丁、直角三角形弦上半圆的面积等于勾上半圆与股上半圆 面积之和,试证明之. 戊、已知球的半径为r,求内接正方体的体积. 己、已知三角形的一边之长为a ,两邻角为β 及γ ,求计算边 长 b的计算公式. [Key] 一、下列六题顺次解答,不必抄题,结果务须明确,过程可以简单. 乙、解:原式可化为 ． 于是有 丙、解:由 可知第4项的值已小于0.01,所以,计算可到第3项为止,其误差必小于千分之一. =81+2.16+0.0216 =83.182 丁、证:设直角三角形的勾为a,股为b,弦为c,则有 即弦上半圆面积=勾上半圆面积+股上半圆的面积. 戊、解:内接正方体的中心即该球的球心.正方体过中心的对角线为该球的直径,故其长为2r.若设正方体的边长为a,则有 所以内接正方体的体积 己、解:由正弦定理可知 二、描绘之图象,并按下列条件分别求x 的值的范围: (i)y0; (ii)y0. [Key] 二、解:将原方程变形,可得 抛物线与x轴的交点为: 当y0时,x的取值范围为: 当y0时,x的取值范围为: 三、假设两圆互相外切,求证用连心线段为直径所作的圆必与前两圆的外公切线相切. [Key] 三、证明:设⊙O1及⊙O2为互相外切的二圆,其中一外公切线为A1A2,切点A1及A2（如图）,令点O为连心线O1O2的中点,过O作OA⊥A1A2. ∴ 以O1O2为直径,即以O为圆心,OA为半径的圆必与直线A1A2相切. 同理可证,此圆必切于⊙O1及⊙O2的另外一条外公切线. [Key] cosx+sinx=(cosx+sinx)2(cosx-sinx), (cosx+sinx)(1-cos2x+sin2x)=0, 2(cosx+sinx)·sin2x=0, ∴ cosx+sinx=0,sin2x=0. 由方程 cosx+sinx=0得,tgx=-1． 由方程 sin2x=0,得 x=kπ（k为整数）. 由检验可知 五、有一直圆锥,全面积为a;与之同底同高之直圆柱全面积为a′.求该圆锥高与母线之比. [Key] 五、解:设直圆锥的高为h,底面半径为R,母线长为l,则 ∴ 两边同除以,可得 等式两边平方, ， =16a(2a-a′)30, ∴该一元二次方程有两个实根,解得 即为圆锥的高与母线的比.