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第3章 图像处理中的正交变换 （第一讲） 　　变换处理一般是线性变换，其基本线性运算式是严格可逆的，并且满足一定的正交条件，因此，也将其称作酉变换。目前，在图像处理技术中正交变换被广泛地运用于图像特征提取、图像增强、图像复原、图像识别以及图像编码等处理中。本章将对几种主要的正交变换进行较详细地讨论。 3.1.1 傅里叶变换的定义及基本概念 傅里叶变换在数学中的定义是严格的。设f(x)为x的函数，如果满足下面的狄里赫莱条件： (1) 具有有限个间断点； (2) 具有有限个极值点； (3) 绝对可积。 傅里叶变换可推广到二维函数。如果二维函数f(x,y) (3) 共轭对称性 (4) 旋转性 (7) 相关定理 如果，f(x), g(x)为两个一维时域函数；f(x,y)和g(x,y)为两个二维空域函数，那么，定义下二式为相关函数 式中 F(u,v) 和 G(u,v) 分别是f(x)和g(x)的傅里叶变换。 (2) 对称性 3.1.6、二维傅立叶变换的性质 反变换： (3-64) (3-63) 正变换： 在图像处理中，一般总是选择方形阵列，所以通常情况下总是 。因此，二维离散傅里叶变换多采用下面两式形式。 (3-65) 式中符号 可称为空间频率。 (3-66) 二维离散傅里叶变换的可分离性是显而易见。 (3-67) (3-68) 这个性质可以使二维变换用两次一维变换实现 1. 可分离性 正变换 同样，反变换也具有可分离性 利用二维傅立叶变换的可分离性，可将二维DFT转化成一维DFT计算。即，先对图象f (x, y) 每一行做一维DFT 得到N 个值，将其排列在同一行的位置，再对每一列做FFT 变换，最后得到全图的变换图F(u, v)： 第一步：先对y方向DFT 第二步：再对x方向DFT 二维离散傅立叶变换过程图示： 在y方向逐行进行一维FT f(x,y) (0,0) N-1 y x N-1 F(x,v) (0,0) N-1 v x N-1 F(u,v) (0,0) N-1 v u N-1 行变换 列变换 在x方向逐列进行一维FT 第一步：先对y方向DFT 第二步：再对x方向DFT 注：先对x方向DFT，然后再对y方向DFT也可。 二维离散傅立叶变换举例 x方向FT y方向FT ?1/4 x方向FT y方向FT 第1列 二维离散傅立叶变换举例 x方向FT 1 1 0 0 1 1 1 1 2 0 1-j 1+j 2 1-j 0 1+j -1 -1 -1 -1 w1 y方向FT ?1/4 二维离散傅立叶变换举例 F(u,v)的主要能量分布在频率平面的什么位置？ 用下式求反变换，与正变换使用同一流程： 二维离散傅立叶变换举例 例：二维傅立叶反变换 逐列FT 逐行FT ?1/4 逐像素求共轭 2. 平移性 FT 则： 相当于F(u,v)的坐标原点移到(u0,v0)点 相当于f(x,y)的坐标原点移到(x0, y0)点 而 即： 移中性 同理： 平移性： 移中性 移中性的用途： 图像作傅立叶变换时，若采用以下公式变换，则变换后主要能量（低频分量）集中在频率平面的中心。 问题： 采用上述公式变换，变换后主要能量（低频分量）集中在频率平面的中心。为什么？ 移中性 未移中的变换： FT 移中的变换： 能量集中于中心（示意图） 移中FT 原图像f（x，y） 能量分布于四角（示意图） 移中FT 移中FT f(x,y) F(u,v) 移中性计算举例 FT ?1/4 ? ? FT ?1/4 ? ? 3. 周期性 非周期性离散函数的FT是离散的周期性函数。 u v N-1 0 N-1 2N-1 2N-1 F(u,v) FT FT 4. 共轭对称性 5. 旋转性不变性 当变量x，y，u，v都用极坐标表示时，即： 则： 若： 此式含义是：当原图像旋转某一角度时，FT后的图像也旋转同一角度。反之，亦然。 旋转性举例： 原图像及其傅立叶幅度谱图像 原图像旋转45?，其幅度谱图像也旋转45 ? f(x,y) F(u,v) 第3章 图像处理中的正交变换 数字图像处理的方法主要分为两大类： 空间域处理法(或称空域法)， 频域法(或称变换域法)。 在频域法处理中最为关键的预处理便是变换处理。 空 域 处 理 输入 f(x,y) 输出 g(x,y) 图像处理的空间域法 空间域法是指在空间域内直接对图像像素灰度值进行运算处理。主要有：灰度变换、直方图修正、图像平滑、图像锐化、伪彩色处理、边缘检测、模识识别等。 FFT f(x,y) g(x