常微分方程的解法及应用_(常见解法及举实例)——高数论文答题.doc

华 北 水 利 水 电 学 院 常微分方程的解法及应用 （常见解法及举实例） 课 程 名 称： 高等数学（2） 专 业 班 级： 成 员 组 成： 联 系 方 式： 05月25日 摘要 常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的研究中。求解常微分的问题，常常通过变量分离、两边积分，如果是高阶的则通过适当的变量代换，达到降阶的目的来解决问题。本文就是对不同类型的常微分方程的解法的系统总结：先对常微分方程 定义及一般解法做简单阐述，然后应用变量替换法解齐次性微分方程，降阶法求高阶微分方程，讨论特殊的二阶微分方程，并且用具体的实例分析常微分方程的应用。 关键词：微分方程 降阶法 变量代换法 齐次型 一阶线性 英文题目： The solution of ordinary differential equations and its application （Common solution and examples） Abstract: Ordinary differential equation is an important part of calculus, widely used in specific problems in the study. Solving differential problem, often through the variable separation, both sides integral, if is high level, through the appropriate variable substitution, achieve the purpose of the reduced order to solve the problem. This article is to different types of ordinary differential equation of the solution system conclusion: first definition of ordinary differential equation and the general solution do simple paper, then apply variable substitution method of homogeneous solution of differential equation, and the reduced order method for high order ordinary differential equation, discussion special second order differential equations, and use a specific example analysis of the application of ordinary differential equations. Key words: Differential equations、Reduced-order method、Variable substitution method 、Homogeneous、First order linear 1、 引言 微积分学研究的对象是变量之间的函数关系，但在许多实际问题中，往往不能直接找到反映某个变化过程的函数关系，而是根据具体的问题和所给的条件，建立一个含有未知函数或微分的关系式。这样的关系式，我们称其为微分方程。再通过积分等方法，从微分方程中确定出所求的未知函数，即求解微分方程。这就是本文要讨论的问题。 2 、研究问题及成果 2.1 一阶微分方程 2.1.1 变量可分离的微分方程 形如的方程，称为变量分离方程，，分别是，的连续函数.这是一类最简单的一阶函数．如果，我们可将()改写成，这样变量就分离开来了.两边积分，得到， 为任意常数．由该式所确定的函数关系式就是常微分方程的解． 例1：求解的通解。 解：→→→通解： 2.1.2 齐次型微分方程 （变量代换的思想） 一阶微分方程可以化成的形式。 求解：， （可分离变量）通解 例2：解方程 2.1.3 一阶线性微分方程 若 ，称为一阶齐次线性微分方程。 若（），称为一阶非齐次线性微分方程。 一阶非齐次微分方程的通解等于对应的齐次方程