分形理论讲稿.pptVIP

分 形 理 论 ——非线性科学三大理论前沿之一;前 言一、非线性复杂系统 （一）什么是分形（FRACTAL） （二）自相似性 （三）标度不变性二、非欧氏几何学（分形几何学）三、分形理论的应用结束语; 分 形 理 论 ——非线性科学三大理论前沿之一 前 言 自然界大部分不是有序的、平衡的、稳定的和确定性的，而是处于无序的、不稳定的、非平衡的和随机的状态之中，它存在着无数的非线性过程，如流体中的湍流就是其中一个例子。 在生命科学和社会科学中，生命现象和社会现象都是一种复杂现象，非线性关系更是常见。 客观世界是复杂的，所以科学家们认为“世界在本质上是非线性的”。但以往人们对复杂事物的认识总是通过还原论方法把它加以简化，即把非线性问题简化???线性问题。这种认识方法虽然在科学研究中发挥过巨大作用，但是随着科学技术和社会的发展，已经暴露出它的局限性，从而要求人;们直接研究复杂事物，以便更准确、更充分地反映其本来面目。因此，一门研究复杂现象的非线性科学应运而生。 在非线性世界里，随机性和复杂性是其主要特征，但同时，在这些极其复杂的现象背后，存在着某种规律性。分形理论使人们能以新的观念、新的手段来处理这些难题，透过扑朔迷离的无序的混乱现象和不规则的形态，揭示隐藏在复杂现象背后的规律、局部和整体之间的本质联系。 ; 目前国内外定期召开有关分形的学术会议，出版会议论文集和关于分形的专著，在重要期刊上经常发表涉及分形理论和应用的论文。世界上1257种学术刊物在80年代后期发表的论文中,与分形有关的占据37.5%。从发表论文来看，所涉及的领域包括哲学、物理、化学、材料化学、电子技术、表面科学、计算机科学、生物学、医学、农学、天文学、气象学、地质学、地理学、城市规划学、地震学、经济学、历史学、人口学、情报学、商品学、电影美学、思维、音乐、艺术等。 分形是一门新的学科，它的历史很短，目前正处在发展之中，它涉及面广但还不够成熟，然而分形理论具有强大的生命力。;研究对象;英国的海岸线地图;研究对象（续）;研究对象（续）;Koch 曲线;Koch 曲线（续）;自然界中的其他事物;一、非线性复杂系统; 人类在认识世界和改造世界的活动中离不开几何学。在历史上，科学技术的发展与几何学的进步始终是密切相关的。在生产实践和科学研究中，人们用以描述客观世界的几何学是欧几里德几何学，以及解析几何、射影几何、微分几何等，它们能有效地描述三维世界的许多现象，如各种工业产品的现状，建筑的外形和结构等。但是，自然界大多数的图形都是十分复杂而且不规则的。例如：海岸线、山形、河川、岩石、树木、森林、云团、闪电、海浪等等，例如图1.1、图1.2和图1.3所示。用欧几里德几何学是无能为力的。; 图1.1 布达拉宫中藏族壁画中的云的形状 ; 图1.3 山脉的复杂形态; 下面给出“分形”的两个定义，在物理上易于理解，但不够精确，也不够数学化。 定义1（Mandelbrot,1986）:部分以某种形式与整体相似的形状叫分形。 定义2（Edgar,1990）:分形集合是这样一种集合，它比传统几何学研究的所有集合还更加不规则（irregular）,无论是放大还是缩小，甚至进一步缩小，这种集合的不规则性仍然是明显的。 ;分形的概念;Julia Set;Mandelbrot Set;展开得： Xn+1 = Xn 2 -Yn2+Cx （实部） Yn+1 = 2*XnYn+Cy （虚部） 对上述迭代式反复进行迭代，得到的数集，称为Mandelbrot集，简称M集。在迭代过程中，Z的初值定为0，而C选择一个不为0的数,使C在复平面的某个区域内有规律地变化，对于二次函数fc(Z)=Z^2+C的迭代，定义M集为： M={c∈C:fck(0)/→ ∞ (k→∞)}。 ;用不同的C值反复进行迭代，由此产生的Zk序列有两种情况： （1）Zk序列自由地朝着无穷大的方向扩散，即发散； （2）Zk序列被限制在复平面的某一区域内，即收敛。 建立判断收敛与发散的判断准则，对于那些收敛的Zk序列的点，设置某种颜色的色调，就可以显示M集的计算机图象。对于那些发散的Zk序列的点，根据发散速度的不同，按照给定的规则着上不同颜色的色调，就能显示M集周围的图象。 ;;自然界中的分形;星 云;天空中的云朵; ???????????????