第五章 矩阵的特征值问题.ppt

第五章　矩阵的特征值与特征向量 二、特征值与特征向量的性质 设A是n阶矩阵，则 A 与　　有相同的特征值. 推论 n阶方阵可逆的充分必要条件是它的全部特征 第二节　相似矩阵与矩阵的对角化 　. 二、　矩阵可对角化的条件 第三节　实对称矩阵的特征值和特征向量 一、向量的内积 数量积） 而向量α的长度（模）定义为 设α,β为Rn中的两个非零向量,则称 若不含零向量的向量组（即该向量组中的向量 二、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质 实对称矩阵的特征值为实数. 本章基本要求：1.会求矩阵的特征值与特征向量. 2.会将矩阵A对角化（求一可逆矩阵P,使P AP 3.会将一个线性无关向量组通过史密特正交化，得到一个正交向量组. 4.会将R 中的一组基通过史密特正交化，然后标准化，得 到R 的一组标准正交基. 5.对于一个实对称矩阵A,会求一个正交矩阵Q,使A对角化. β3 α3- β2 + , 再将 单位化，得 γ1 , γ2 , γ3 . 由 构成正交矩阵 Q γ1,γ2,γ3 , 有 . 例4　设三阶实对称矩阵A的特征值为 二重 , A的对应于 的特征向量为 ,求A. 解 因为A为实对称矩阵，所以存在正交矩阵Q,使 设对应于A的二重特征值 的线性无关的特征 向量为 . 则 和 都与 正交. 设与 正交的向量为 ,则 0,1,1 解此方程组得基础解系 由于 与 正交，故只需将 单位化： β1 , β2 , β3 构造矩阵 Q β1,β2,β3 , Λ , 则Q为正交矩阵，且Q AQ Λ.因此 A QΛQ QΛQ -1 -1 T . 例5　设A,B是n阶实对称矩阵,证明：存在正交矩阵Q, 使Q AQ B的充分必要条件是A,B有相同的特征值. 证明　必要性 因为有正交矩阵Q, 使Q AQ B, 所以 A~B, 故A与B具有相同的特征值. 充分性　设矩阵A,B的特征值均为 ， 因为A,B为实对称矩阵，所以存在正交矩阵 ，使得 所以 , -1 -1 , 于是 . 令 ,则Q仍为正交矩阵，且 B Q AQ. -1 可分别求得A的对应于特征值2,1,-1的特征向量 , α2 , α3 . 于是，可逆矩阵 P α1,α2,α3 ,可使P-1AP B. 方法二　由于A~B, 故|A| |B|,trA trB，即有 -2 -2y, 2+x 1+y, 解得 x 0,y 1. 2 由于A~B,故A与B有相同的特征值2,1,-1. 解齐次线性方程组 λE-A X 0, 例2　已知A 解　A的特征多项式 λ-1 λ+1 2, 可对角化，求k. |λE-A| -E-A → → 故k 0时，A可对角化. A的特征值为 1, -1.由定理1可知， 数矩阵的秩R E-A 1,而 关的特征向量，故线性方程组 E-A X 0的系 对应二重特征值 -1,A应有两个线性无 2. 已知α 是A 的逆矩阵A-1的特征向量， 求 . 解 设 是 的属于特征值 的特征向量，则 即 解此方程组得 或 3. 设A是n阶方阵，证明：若 ，则A的特征值 只能是-1或1. 证 设 是A的特征值 是A的属于特征值 的特征向量，则 即 故 即 或 因为 4. 已知三阶矩阵A的特征值为1，2，3，试求 A*+3E的特征值. B 解 的特征值为 . 故 6. 设A与B都是n阶方阵，且|A|≠0， 证 证明：AB与BA相似. 8. 设三阶方阵A的特征值为1，0，-1，对应的特征向量 求 依次为 解 因为 依题设有 9. 设矩阵A 特征向量，求x和y应满足的条件. 有3个线性无关的 ，得 （二重）， 可见方程 的基础解系含2个解向量， 又 从而 解 由 在空间解析几何中，两个向量 的内积定义为 并且α,β的夹角θ满足 我们可以把三维向量的内积推广到n维向量，定 义n维向量的内积、长度和夹角. 定义4 设 为Rn中的两个向量，称 为向量α与β的内积，记作[α,β]（或 ）， 或 即 注意: 若 则 容易证明内积满足下列性质： 定义5　 向量的长度具有下述性质： 设 为向量α的长度（也称范数），记作‖α‖,即 这一过程叫做向量的单位化或标准化. 1 非负性‖α‖≥0; 2 齐次性‖kα‖ |k|·‖α‖; 3 三角不等式‖α+β‖≤‖α‖+‖β‖. 当‖α‖ 1时，称α为单位向量或标准向量. 任一非零向量除以它的长度后就成了单位向量. 为向量α与β的夹角. 定义6 定义7 设α,β为Rn中的向量，若[α,β] 0，则称向 α与β正交（或垂直），记作α⊥β. 显然，零向量与任何向