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20．（本小题满分14分）
已知函数f（x） 21nx+ax2 -1 （aR）
（I）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若a l，试解答下列两小题．
（i）若不等式对任意的0 x l恒成立，求实数m的取值范围；
（ii）若x1，x2是两个不相等的正数，且以求证：
21、已知函数（常数）.
（Ⅰ）求的单调区间；（5分）
（Ⅱ）设如果对于的图象上两点，存在，使得的图象在处的切线∥，求证：.（7分）
21、（I）的定义域为
-----（1分）
①时，的增区间为，减区间为
②时，的增区间为，减区间为
③时，减区间为
④时，的增区间为，减区间为
-----（5分）
（II）由题意
又：
（）在上为减函数
要证,只要证
-----（9分）
即, 即证
令 ，
在为增函数，即
即 得证-----（12分）
20．（本小题满分14分）已知函数
（1）求函数的单调递增区间；
（2）记函数的图象为曲线C．设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上的不同两点．
如果在曲线C上存在点M（x0，y0），使得：①；②曲线C在点M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值相依切线”，
试问：函数f（x）是否存在“中值相依切线”，请说明理由
20解：（Ⅰ） 函数的定义域是. ………1分
由已知得，. ………2分
ⅰ 当时, 令,解得;函数在上单调递增
ⅱ 当时，①当时，即时, 令,解得或;
函数在和上单调递增
②当时，即时, 显然，函数在上单调递增；
③当时，即时, 令,解得或
函数在和上单调递增 。。。。。。。。。。。6分
综上所述:⑴当时,函数在上单调递增
⑵当时,函数在和上单调递增
⑶当时,函数在上单调递增；
⑷当时,函数在和上单调递增 ………….7分
Ⅱ 假设函数存在“中值相依切线”.
设,是曲线上的不同两点，且，
则，. …9分
曲线在点处的切线斜率，
依题意得：.
化简可得： ， 即 . ….11分
设 ，上式化为：,
. 令,.
因为,显然，所以在上递增,
显然有恒成立.所以在内不存在,使得成立.
综上所述，假设不成立.所以，函数不存在“中值相依切线”. …..14分
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