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2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 第一课 第一课 第一课 1.1 矢量代数 1.2 三种常用的正交曲线坐标系 1. 直角坐标系 2. 柱面坐标系 单位矢量变换 3.球面坐标系 单位矢量变换 4. 坐标单位矢量之间的关系 1.3 标量场的梯度 2、方向导数的定义 1.4 矢量场的通量与散度 1.5 矢量场的环流与旋度 任意矢量旋度的散度恒为零 梯度的旋度恒为零 斯托克斯定理 矢量对闭合回路的线积分等于该回路所张成的任意表面对该矢量旋度的面积分。 1.6 无旋场与无散场 1.7 拉普拉斯运算与格林定理 第1章??? 矢量分析小结 5.矢量分析中重要的恒等式有 6. 算符 矢量算符 在直角坐标内， 7. 所以 是个矢量，而 是个标量， 是个矢量。因而矢量算符 符合矢量标积、矢积的乘法规则，在计算时，先按矢量乘法规则展开，再作微分运算。 8. 亥姆霍兹定理总结了矢量场的基本性质，分析矢量场总要从研究它的散度和旋度开始着手，散度方程和旋度方程组成了矢量场的基本微分方程。 ⑴为标量函数u的泊松方程。 对⑵取A的散度为零即得A的矢量泊松方程 对真空中既有散度又有旋度的矢量场F 令 因此可得 当给定 时可得到上两个方程的解u、 A进而得到矢量的解F 亥姆霍兹定理告诉我们： ⑴无界空间中的矢量场由它的散度和旋度唯一的确定 ⑵矢量场的散度和旋度决定了矢量场的基本性质 将矢量场的散度和旋度所满足的关系式称为矢量场基本方程的微分形式 将矢量场的通量和环流所满足的关系式称为矢量场基本方程的积分形式 矢量场的基本性质就是由矢量场的基本方程来表示的。 对于有限空间区域的矢量场，则是由它的散度、旋度和边界条件（即有限区域的边界面上的场分布）唯一的确定。其中边界条件反应了边界上的源对于区域内场的作用。 1.我们讨论的电磁场是具有确定物理意义的矢量场，这些矢量场在一定的区域内具有一定的分布规律，它们都是空间坐标的连续函数。 根据定义，则得到直角坐标系中的散度表达式为 同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点P 穿出该六面体的净通量为 4. 散度定理 体积的剖分 V S1 S2 en2 en1 S 从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即 散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，在电磁理论中有着广泛的应用。 S 1 S 2 高斯散度定理： 均有： 矢量场的环流与旋涡源 例如：流速场。 不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。 先来看简单的二维场的例子 如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无旋场，又称为保守场。 环流的概念 矢量场对于闭合曲线C 的环流定义为该矢量对闭合曲线C 的线积分，即 如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源。电流是磁场的旋涡源。 矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源 宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入 矢量场的旋度。 2. 矢量场的旋度（ ） （1）环流面密度 称为矢量场在点M 处沿方向 的环流面密度。 特点：其值与点M 处的方向 有关。 过点M 作一微小曲面?S ，它的边界曲线记为C，曲面的法 线方向 与曲线的绕向成右手螺旋法则。当?S?0 时，极限 而 推导 的示意图如图所示。 o y Dz Dy C M z x 1 2 3 4 计算 的示意图 直角坐标系中 、 、 的表达式 于是 同理可得 故得 概念：矢量场在 M 点处的旋度为一矢量，其数值为M 点的环流 面密度最大值，其方向为取得环流密度最大值时面积元 的法线方向，即 物理意义：旋涡源密度矢量。 性质： （2）矢量场的旋度 旋度的计算公式: 直角坐标系 圆柱坐标系 球坐标系 旋度的有关公式： 矢量场的旋度 的散度恒为零 标量场的梯度 的旋度恒为零 由此可知：对于任何一个散度为零的矢量场B，必然可以表示为某个矢量场的旋度。即 ： 3. 斯托克斯定理 斯托克斯定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变换关系式，也在电磁理论中有广泛的应用。 曲面的剖分 方向相反大小相等结果抵消 从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即 4. 散度和旋度的区别 无源区域 发散源 漩涡源 发散源＋漩涡源 线元矢量 体积元 面元矢量 圆柱坐标系中的线元、面元和体积元 位置矢量 位置矢量 线元矢量 体积元 面元