第1章矢量upan技巧.pptVIP

解： 这说明点电荷产生的电场是无旋场。 标量场的等值面 等值面: 标量场取得同一数值的点在空 间形成的曲面。 等值面方程： 常数C 取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族； 标量场的等值面充满场所在的整个空间； 标量场的等值面互不相交。 等值面的特点： 意义: 形象直观地描述了物理量在空间 的分布状态。 标量场的等值线 面 1.3 标量场的梯度 设M0是标量场φ φ M 中的一个已知点，从M0出发沿某一方向引一条射线l, 在l上M0的邻近取一点M，MM0 ρ，如图1-2所示。若当M趋于M0时 即ρ趋于零时 ， 的极限存在，则称此极限为函数φ M 在点M0处沿l方向的方向导数，记为 M0 M 方向导数的概念 2. 方向导数 意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。 若函数φ φ x, y, z 在点M0 x0, y0, z0 处可微，cosα、cosβ、cosγ为l方向的方向余弦，则函数φ在点M0处沿l方向的方向导数必定存在，且为： 证明：M点的坐标为M x0+Δx, y0+Δy, z0+Δz ，由于函数φ在M0处可微，故 z x y 矢量的几何表示 两边除以ρ，可得 当ρ趋于零时对上式取极限，可得 —— u M 沿 方向增加； —— u M 沿 方向减小； —— u M 沿 方向无变化。 M0 M 方向导数的概念 特点：方向导数既与点M0有关，也与 方向有关。 例1-3 求数量场 在点M 1, 1, 2 处沿l ex+2ey+2ez方向的方向导数。  解：l方向的方向余弦为 而 数量场在l方向的方向导数为 在点M处沿l方向的方向导数 问题：在什么方向上方向导数变化率最大、其最大的变化率 为多少？ 标量场的等值线 面 ▽φ的模就是φ在给定点的最大方向导数, 而其方向就是该具有最大方向导数的方向, 亦即φ的变化率最大的方向。 2、梯度 （矢量） 我们定义标量场φ x, y, z 在P x, y, z 点处的梯度 gradient 为 标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。 标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。 梯度的性质： 梯度运算的基本公式： 标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面） 例1-4 设标量函数r是动点M x, y, z 的矢量r xex+yey+zez的模， 即 ， 证明： 证： 因为 所以 例1-5 求r在M 1，0，1 处沿l ex+2ey+2ez方向的方向导数。 解： 由例1-4知r的梯度为 点M处的坐标为x 1, y 0, z 1, 所以r在M点处的梯度为 r在M点沿l方向的方向导数为 而 所以 例1-6 已知位于原点处的点电荷q在点M x, y, z 处产生的电位为 ，其中矢径r为r xex+yey+zey，且已知电场强度与电位的关系是E -▽φ，求电场强度E。  解： 根据▽f u f′ u ·u的运算法则， 三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。 三种常用的正交曲线坐标系 在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。 1. 直角坐标系 位置矢量 面元矢量 线元矢量 体积元 坐标变量 坐标单位矢量 点 P x0,y0,z0 0 y y （平面） o x y z 0 x x （平面） 0 z z （平面） P 直角坐标系 x y z 直角坐标系的长度元、面积元、体积元 o d z d y d x 2. 圆柱坐标系 坐标变量 坐标单位矢量 位置矢量 线元矢量 体积元 面元矢量 圆柱坐标系中的线元、面元和体积元 圆柱坐标系 （半平面） （圆柱面） （平面） 圆柱坐标系哈密顿微分算子▽的表示式为: 3. 球坐标系 坐标变量 坐标单位矢量 位置矢量 线元矢量 体积元 面元矢量 球坐标系中的线元、面元和体积元 球坐标系 （半平面） （圆锥面） （球面） 球坐标系哈密顿微分算子▽的表示式为 4. 坐标单位矢量之间的关系 直角坐标与 圆柱坐标系 圆柱坐标与 球坐标系 直角坐标与 球坐标系 o f x y 单位圆 直角坐标系与柱坐标系之间 坐标单位矢量的关系 f o q r z 单位圆 柱坐标系与求坐标系之间 坐标单位矢量的关系 q q 1.7 拉普拉斯运算 1. 拉普拉斯运算 标量拉普拉斯运算 概念： —— 拉普拉斯算符 直角坐标系 计算公式： 圆柱坐标系 球坐