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广东中考综合题证明题 一.线段证明题 4. （2012广东梅州8分）如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E． （1）求证：△ADE∽△BCE； （2）如果AD2=AE?AC，求证：CD=CB． 【答案】证明：（1）∵∠A与∠B都是弧所对的圆周角， ∴∠A=∠B， 又∵∠AED =∠BEC，∴△ADE∽△BCE。 （2）∵AD2=AE?AC，∴。 又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD。∴∠AED=∠ADC。 又∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°。∴∠AED=90°。 ∴直径AC⊥BD，∴CD=CB。 【考点】圆周角定理，对顶角的性质，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线上点的性质。 【分析】（1）由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠A=∠B，又由对顶角相等，可证得：△ADE∽△BCE。 （2）由AD2=AE?AC，可得，又由∠A是公共角，可证得△ADE∽△ACD，又由AC是⊙O的直径，可求得AC⊥BD，由线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质可证得CD=CB。 9.（深圳2010年招生8分）如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，若∠MAC＝∠ABC， ( 1 ) ( 2 分）求证：MN 是半圆的切线， ( 2 ) ( 3 分）设D 是弧AC 的中点，连接BD交AC 于G , 过D 作DE⊥AB于E，交AC于F． 求证：FD＝FG.. ( 3 ) ( 3 分）若△DFG的面积为4.5 ，且DG＝3，GC＝4， 试求△BCG的面积． 【答案】解：（1）证明：∵AB是直径，∴∠ACB＝900。 ∴∠BAC＋∠ABC＝900。 又∵∠MAC＝∠ABC，∴∠BAC＋∠MAC＝900。∴MN⊥AB。 ∴MN 是半圆的切线。 （2）∵D 是弧AC 的中点，∴∠CBD＝∠DBA。 ∵∠ACB＝900，∴∠DGF＝∠CGB＝900－∠CBD 又∵DE⊥AB，∴∠GDF＝900－∠DBA。 ∴∠DGF＝∠GDF。∴FD＝FG.。 （3）过点F作FH⊥DG于点H， 则由FD＝FG，DG＝3，△DFG的面积为4.5，得HG=1.5，S△FHG＝。 ∵∠GCB＝900，FH⊥DG，∴∠GCB＝∠GHF＝900。 又∵∠CGB＝∠HGF，∴△BCG＝△FHG。∴ ∴。 【考点】圆切线的判定，圆周角定理，直角三角形两锐角的关系，对顶角的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的性质。 【分析】（1）要证MN 是半圆的切线，只要证MN⊥AB即可。由圆周角定理和直角三角形两锐角的关系，经过等量代换，即可证得∠BAC＋∠MAC＝900，从而得证。 （2）由等弧所对圆周角相等的性质，直角三角形两锐角的关系和对顶角相等的性质，可证得∠DGF＝∠GDF，由等腰三角形等角对等边的判定，即可得FD＝FG.。 （3）过点F作FH⊥DG于点H，由等腰三角形三线合一的性质可得HG=1.5，S△FHG＝。由相似三角形的性质即可求得△BCG的面积。 6. （2012广东肇庆10分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，连结BE、AD交于点P. 求证： （1）D是BC的中点； （2）△BEC ∽△ADC； （3）AB× CE=2DP×AD． 【答案】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC。 ∵AB=AC，∴D是BC的中点。 （2）∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=∠ADB=90°，即∠CEB=∠CDA=90°， ∵∠C是公共角，∴△BEC∽△ADC。 （3）∵△BEC∽△ADC，∴∠CBE=∠CAD。 ∵AB=AC，AD=CD，∴∠BAD=∠CAD。∴∠BAD=∠CBE。 ∵∠ADB=∠BEC=90°，∴△ABD∽△BCE。 ∴。∴。 ∵BC=2BD，∴，即。 ∵∠BDP=∠BEC=90°，∠PBD=∠CBE，∴△BPD∽△BCE。∴。 ∴，即AB?CE=2DP?AD。 【考点】圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质。 【分析】（1）由AB是⊙O的直径，可得AD⊥BC，又由AB=AC，由三线合一，即可证得D是BC的中点。 （2）由AB是⊙O的直径，∠AEB=∠ADB=90°，又由∠C是公共角，即可证得△BEC∽△ADC。 （3）易证得△ABD∽△BCE与△BPD∽△BCE，根据相似三角形的对应边成比例与BC=2BD，即可证得AB?CE=2DP?AD。 7. （2012广东珠海9分） 已知，AB是⊙O的直径，点P在弧AB上（不含点A、B