第三章斯托克司边值理论概述.pptVIP

第四章 :斯托克司边值理论 §3.1 扰动位、大地水准面高和垂线偏差 （一）扰动位 扰动位定义为同一点上重力位与正常重力位之差。 扰动位的定义用数字公式表示出来为 T=W一U, (3-1-1) 它是指空间同一点上W与U之差。 (二) 大地水准面高(差距) 大地水准面是大地测量中一个很重要的概念，它定义为与平均海水面最为接近的重力位水准面，是海拔高程的起算面。 大地水准面高是描述大地水准面形状的一个量，它是由平均椭球体表面到大地水准面的垂直距离，向上为正，向下为负。 这里的垂线偏差指重力垂线偏差，它是大地水准面上某点的重力方向与通过该点到平均椭球体表面的法线方向之间的夹角。垂线偏差除大小之外，还必须指出偏离方向，这就需要至少用它在两个方向的投影来描述，一般取向南的分量 和向西的分量 来表示，如图6-2所示， 轴垂直于平均椭球体表面。 垂线偏差 垂线偏差 垂线偏差 垂线偏差 垂线偏差 垂线偏差 §6.2 重力异常和斯托克司边值问题 (一)重力异常和重力测量基本微分方程 所以，重力异常为 重力测量基本微分方程 大地测量基本微分方程为 大地水准面上扰动位的解 大地水准面上扰动位的解 大地水准面上扰动位的解 如果E在球外是调和的,在无穷远处是正则的,可通泊松积分求E,然后由E求T. 大地水准面上扰动位的解 大地水准面上扰动位的解 大地水准面上扰动位的解 大地水准面上扰动位的解 大地水准面上扰动位的解 大地水准面上扰动位的解 地水准面上扰动位的解 水准面上扰动位的解 水准面上扰动位的解 斯托克司积分 维宁、曼尼兹公式 §6.3 扰动位的球近似解 (一) 级数解 （6-3-2） 其中， 为单位球面，面积元是 然后再将(6-3-4)代人，得 (二) 积分解 令 具体地，实际地球的重力位可写成 将上式两边同除以?2,并令S(?,?) 上式称为广义斯托克斯函数,当?=R时,称为斯托克斯函数,相应的扰动位 式中,A和?分别为方位角和极距. 设平均椭球体的质心与地球的质心重合，并采用地球质心主惯轴坐标，则正常引力位和引力位的球函数级数展开式中均没有一阶球函数的各项;由于平均椭球体的质量与地球质量相等，所以正常引力位和引力位中的零阶球函数项相等，参见(4-2-12)。综合这些讨论可将扰动位的球函数级数展开式写成 其中采用R而不采用a是球近似的原因。 将(6-3-1)代入球近似下的边界条件(6-2-10)，得 为了求得 与 ，将 展开成球函数级数 也理解为积分变量 和 的函数。 的球函数级数展开式(6-3-3)中没有零阶和一阶球函数项是(6-3-2)式的一个直接推论。 最后，比较(6-3-2)和(6-3-3)便得 其中的积分变量是 和 , 也被看作 与 的函数。我们将证明，最后一个积分号下的级数是收敛的，固可将连加号和积分号变换次序。 则扰动位可写成 利用加法公式可将S( , , )换算成S( , )如 其中 为球面上坐标为( ， )和( , )两点相对于球心的夹角，即计算T的点( , )与积分流动点( , )的球心角。 * 长安大学 地质工程与测绘学院 张永志 如图3-1所示，S为平均椭球体表面，Σ为大地水准面，P为大地水准面上的一点， 点为P点在平均椭球体表面的投影，则大地水准面高即为有向线段 。用 表示平均椭球体表面的正常重力位， 表示大地水准面上的重力位， 表示过P点的正常重力位水准面上的正常重力位，则由重力位的性质知 3-1-2 利用(3-1-1)得 其中 和 分别为大地水准面上的扰动位和平均椭球体表面上的正常重力。 由于定义平均椭球体表面的正常重力位等于大地水准面上的重力位，即 ，所以(6-1-3)简化为 因为 是微小量，在一级近似下我们用 的全球平均值 来替换它，这相当于省略扁率级的量，所以这种近似称为球近似， 上述三个公式(6-1-3),(6-1-4)和(6-1-5)统称为布隆斯公式。 (三) 垂钱偏差 由于正常重力垂直于xy平面,所以有 由于垂线偏差很小,通常小于1秒 将x,y的微分用子午圈和卯酉圈的弧长微分表示,用地球平均半径代替子午圈和卯酉圈半径,用正常重力代替gz,, 我们将地面作球面对待，此时，用地球的等体积平均半径R