第三章量子力学中的力学量概述.ppt

第三章 量子力学中的 力学量 经典力学中物质运动的状态总是用坐标、动量、角动 量、自旋、动能、势能、转动能等力学量以决定论的方式描 述。量子力学的第一个惊人之举就是引入了波函数 这样一 个基本概念，以概率的特征全面地描述了微观粒子的运动状 态。但 并不能作为量子力学中的力学量。于是，又引入了 一个重要的基本概念—算符，用它表示量子力学中的力学 量。算符和波函数作为量子力学的核心概念相辅相承、贯穿 始终。 本部分内容是量子力学的重要基础理论之一，也是大家学习的重点。重点掌握以下内容： 一个基本概念：厄米算符（作用及其基本性质）； 两个假设：力学量用线性厄米算符表示，状态用线性厄米 算符的本征态表示； 三个力学量计算值：确定值、可能值、平均值； 四个本征态及本征值：坐标 或 、动量 或 、角动量 及 、能量（哈密顿量 ）。 本部分的难点是任意态 与力学量算符本征态 及力 学量概率态 的区别。 一、 算符的运算规则 二、 动量算符和角动量算符 三、 电子在库仑场中的运动 四、 氢原子 五、 厄密算符的本征值与本征函数 六、 算符与力学量的关系 七、 共同本征函数 八、 测不准关系 （一）算符定义 （二）算符的一般特性 （1）线性算符 （3）算符之和 （4）算符之积 （6）对易括号 （7）逆算符 （8）算符函数 例如: （10）转置算符 (11)厄密共轭算符 (12) 厄密算符 （一）动量算符 讨论： （二）角动量算符 例：证明在 LZ 本征态 Ylm 下，Lx = Ly = 0 §3 电子在库仑场中的运动 （一）有心力场下的 Schrodinger 方程 （二）求解 Schrodinger 方程 （三）使用标准条件定解 作 业 周世勋 《量子力学教程》 3.1、3.10 §4 氢原子 （一）二体问题的处理 （二）氢原子能级和波函数 （三）类氢离子 （四）原子中的电流和磁矩 （三）类氢离子 作 业 周世勋《量子力学教程》 3.2 题 曾谨言 《量子力学导论》 6.5、6.6 题 例1：已知空间转子处于如下状态 归一化波函数 例2：（《周》）3.6 设t=0 时，粒子的状态为  y(x) = A [ sin2kx + (1/2)coskx ]求粒子的平均动量和平均动能。 作 业 周世勋《量子力学教程》 3.7、3.8 §7 共同本征函数 （一）两力学量同时有确定值的条件 （二）两算符对易的物理含义 （三）力学量完全集合 （一）两力学量同时有确定值的条件 体系处于任意状态 y（x）时，力学量 F 一般没有确定值。 （二）两算符对易的物理含义 定理：若两个力学量算符有一组共同完备 的本征函数系，则二算符对易。 逆定理：如果两个力学量算符对易，则此二算符 有组成完备系的共同的本征函数。 定理：一组力学量算符具有共同完备本征函数系的充要条件是这组算符两两对易。 （三）力学量完全集合 §8 测不准关系 （一）测不准关系的严格推导 （二）坐标和动量的测不准关系 （2）线性谐振子的零点能 （三）角动量的测不准关系 作 业 周世勋《量子力学教程》 3.5、3.6、3.9、 曾谨言《量子力学导论》 4.10、4.12、4.15 （1）动量平均值 （2）动能平均值 返回 如果力学量 F 有确定值， y（x）必为 F 的本征态，即 如果有另一个力学量 G 在 y 态中也有确定值， 则 y 必也是 G 的一个本征态，即 结论： 当在 y 态中测量力学量 F 和 G 时，如果同时具有确定值，那么y 必是 二力学量共同本征函数。 所以 ？ 是特定函数， 非任意函数也！ 例如： = 0 的态，Y l m = Y00 Lx Lz 同时有确定值。 但是，如果两个力学量的共同本征函数不止一个，而是一组且构成完备系，此时二力学量算符必可对易。 考察前面二式： 证： 由于 fn 组成完备系，所以任意态函数 y(x) 可以按其展开： 则 因为 y(x) 是任意函数 证： 考察： fn 也是 G 的本征函数，同理 F 的所有本征函数 fn （ n = 1，2，… )也都是 G 的本征函数,因此二算符具有共同完备的本征函数系. 仅考虑非简并情况 即： 与 fn 只差一常数