第三章量子力学中的力学量nbsp;概述.ppt

第三章 量子力学中的力学量? 这一章主要介绍量子力学如何处理力学量。主要特点是力学量与算符对应。它涉及到量子力学特有的一整套处理力学量的基本原理与数学方法。这一章构成了量子力学基本理论框架的主要部分。 §3.7 测不准关系 实物粒子~物质波 波粒二象性：遵从由物质波强度描述的概率性统计规律 不确定关系：定量地描述微观粒子运动中的不确定性 （一）位置与动量的不确定关系 以电子束单缝衍射为例： . . . . . . . . . 只计中央明纹区,角宽度 位置不确定量： p py px 电子如何进入中央明纹区的？ * §3.1 表示力学量的算符 一、算符 1．? 算符定义：作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号。 算符 1．? 算符运算 A.算符和与差： B.算符乘： ?C.算符相等：对任意函数Ψ，若 成立，则 D.线性算符： 若 成立，则 是线性算符。 3.泊松括号与算符对易 泊松括号： A. B. 4.算符的本征方程、本征值与本征函数 若 λ称本征值，ψλ称为本征值λ的本征函数。 5.厄米共轭算符 若算符 满足： 其中ψ、φ是任意函数，则称 是 的厄米共轭算符，记为： 6. 厄米算符 若 ，即 ，其中ψ、φ是 任意函数，则称 为厄米算符。厄米算符反映某一类算符的特性。 厄米算符的特点： a. 厄米算符的本征值是实数。 b.厄米算符不同本征值的本征函数正交。 ? 二．力学量算符与力学量算符的构成。 1 量子力学中某一力学量总是与一个厄米算符对应（一个基本假定）。 2.力学量算符的构成 a.基本算符： 动量算符 坐标算符 b．其他力学量算符由此二个基本算符构成，p55.构成规则为: 先写出某一力学量的经典表示式 然后将其中的P换为算符 就到得此力学量的算符，即 3. 力学量算符都是厄米算符。 如坐标算符、动量算符、哈密顿算符、角动量算符等。 三．一个基本假定（P56） 如果一粒子处在力学量F对应的厄米算符的一本征态φλ中，那么测量这个力学量F时就有确定值，这个值就是这个本征态φλ所对应的本征值λ。 §3.2 动量算符与角动量算符； 一．动量算符 1．本征方程 (1) 三个分量式为： (2) (3) (4) 2．本征函数 (1）、（2）、（3）、（4）本征函数都为 其中C为归一化系数。 （1）归一化系数C求法： 由于本征值是连续分布的，本征函数模平方在整个空间积分不能归一化为一，而只能归一化为δ函数。统一说法，也说这C为归一化系数。 归一化系数C求法。 已归一化了的四个本征函数为： 二．角动量算符 角动量算符为 1． 球坐标下的的本征方程、本征函数与本征值。 本征方程： ，m=0,±1, ±2,…. 本征函数： 本征值：LZ=m?, m=0,±1, ±2,….称磁量子数 本征函数正交归一： 本征方程求解 a.本征方程: 本征方程求解 （1） （2） b.本征函数： ，称球谐函数。 ：缔合勒让德多项式。 归一化系数： 球谐函数是正交归一： 注：球谐函数 既是 的本征函数，也是 的 本征函数，是 共同本征函数，仅本征值不同。 c.本征值： 重简并。 三．坐标算符 的本征方程、本征函数与本征值。 1.本征方程： ??本征函数： 分析，若粒子处本征态 ，则其本征值是确定的， 即粒子的位置x有确定值x’,即 由此可推出： 另外，公式： 也成立。 本征值x’是连续的，本征函数归一到δ函数： §３.３ 电子在库仑场运动 库仑场是一个中心力场，所谓中心力场，即势场Ｖ（r）只与r大小有关，与r 的方向无关。本节讲二点： １．??中心力场定态薛定谔方程的分离变量； ２．??电子在库仑场运动的定态方程求解。 ? 一．中心力场定态薛定谔方程的分离变量  在中心力场中，哈密顿算符Ｈ为： 采用球坐标，哈密顿算符Ｈ为： 定态薛定谔方程为： ? 采用分离变量法，令 得， (2)方程的解就是球谐函数: Ｙlm(θ,φ), 并且λ＝l(l+1). (1)方程的解依Ｖ(r)的具体形式而定。对于类氢离子中电子， Ｖ(r)=-ze2/(4πξ0r)=-ze2s/r, es=e/(4πξ0)1/2 这种分离变量十分重要，求有心力场问题，只要解径向方程（１）即可。 例如，无限深球形势阱： Ｖ（r）=∞ rr0 0 rr0 阱外，由径向方程得R(r)=0,