第七章求解递推关系2概述.pptVIP

§3 线性递推关系 * * 1、定义 称为k阶线性递推关系。 若系数不依赖n，称为常系数递推式， 否则称为变系数递推式。 递推关系 例1 二阶常系数线性齐次式。 一阶变系数线性非齐次式。 例2 Fibonacci数列 例3 等比数列 二阶变系数线性齐次式。 一阶常系数齐次 等差数列 一阶常系数非齐次 阶乘数列 一阶变系数齐次 性质2 2、线性齐次递推式解的性质 性质1 对线性齐次递推式： 线性齐次递推式的所有解构成线性空间： 1）解空间对线性运算封闭； 2）所有解可以用一组基的线性组合表示。 求解齐次递推式，归结为 求出解空间的一组基（一组线性无关的解）， 根据初始条件确定系数（特解）。 性质3 对线性齐次递推式： 相应的特征方程为： 性质4 对线性齐次递推式 例4 特征方程： 特征根： 通解： 解 给定初始条件： 特解： 性质5 对线性齐次递推式 例5 特征方程： 二重特征根： 通解： 解 性质6 对线性齐次递推式 例6 特征方程： 共轭复根： 通解： 解 总结 对线性齐次递推式 例7 特征方程： 特征根： 通解： 解 初始条件： 特解： 例7 特征方程： 特征根： 通解： 解 用a,b,c组成字长为n的单词，要求两个a不能连续出现。这样的单词有多少个？ 初始条件： 特解： 3、线性非齐次递推式解的性质 性质1 对线性非齐次递推式： 非齐次通解=齐次通解+非齐次特解 性质2 对线性非齐次递推式： 例8 先求齐通： 特征根： 齐次通解： 解 特征方程： 再求非齐特： 代入递推式： 非齐次特解： 非齐特通解： 比较系数： 初始条件定解： 例9 求齐通： 特征根： 解 特征方程： 设非齐特： 代入递推式： 特征根=1 ??? 矛盾啦 !!! 解法2 求和： 一般情况： 求和： 性质3 对线性非齐次递推式：