第三章静电场的边值问题概述.ppt

§3-1 电位微分方程 ?l （3）线电荷与带电的导体圆柱。 P a f d r -?l O 在圆柱轴线与线电荷之间，离轴线的距离d 处，平行放置一根镜像电荷 。已知无限长线电荷产生的电场强度为 因此，离线电荷r 处，以 为参考点的电位为 若令镜像线电荷 产生的电位也取相同的 作为参考点，则 及 在圆柱面上 P 点共同产生的电位为 已知导体圆柱是一个等位体，因此，为了满足这个边界条件，必须要求比值 为常数。与前同理，可令 ，由此得 （4）点电荷与无限大的介质平面。 E ? 1 ? 1 ? q r0 E Et En q ? 2 ? 2 ? q E ? 1 ? 2 q et en = + 为了求解上半空间的场可用镜像电荷 q 等效边界上束缚电荷的作用，将整个空间变为介电常数为?1 的均匀空间。 对于下半空间，可用位于原点电荷处的q 等效原来的点电荷q 与边界上束缚电荷的共同作用，将整个空间变为介电常数为?2 的均匀空间。 但是，必须迫使所求得的场符合原先的边界条件，即电场切向分量保持连续，电通密度的法向分量应该相等，即 已知各个点电荷产生的电场强度分别为 代入上述边界条件，求得镜像电荷如下： §3-4 直角坐标系中的分离变量法 一般情况下,采用正交坐标系可用分离变量法得出拉普拉斯方程的通解，而只有当场域边界与正交坐标面重合或平行时，才可确定积分常数，得到边值问题的解。 分离变量法的基本思想是将待求函数看作是两个(二维问题)或三个(三维问题)本征函数的乘积，而每一个本征函数只包含一个坐标变量，然后将拉普拉斯方程进行变量分离，从而将求解偏微分方程的问题简化为求解常微分方程的问题，利用线性方程解的叠加性，将这些解组合起来便求得问题的通解，再根据边值条件确定出其中的常数，便得到待求边值问题的特解。 无源区中电位满足的拉普拉斯方程在直角坐标系中的展开式为 令 代入上式，两边再除以 X(x)Y(y)Z(z)，得 显然，式中各项仅与一个变量有关。因此，将上式对变量 x 求导，第二项及第三项均为零，求得第一项对 x 的导数为零，说明了第一项等于常数。同理，再分别对变量 y 及 z 求导，得知第二项及第三项也分别等于常数。令各项的常数分别为 ，分别求得 式中kx ，ky ，kz 称为分离常数，它们可以是实数或虚数。可见，经过变量分离后，三维偏微分方程式被简化为三个一维常微分方程。 三个分离常数并不是独立的，它们必须满足下列方程 根据分离常数k2是等于零、大于零或小于零，相应的常微分方程的解分别是一次式、正弦与余弦三角函数的组合或正弦与余弦双曲函数（或正、负指数函数）的组合。 如当 kx=0时，若设 为实数，则 ，故 ， 为虚数，于是上述三个常微分方程的通解分别为 或者 或者 故 解中各个待定常数也取决于给定的边界条件。 解的形式的选择是非常重要的，它完全决定于给定的 边界条件。 若在某些坐标平面上，边界条件可看成是周期性的，其解应选三角函数，相应的分离变量是实数；若边界条件是非周期性的，其解应选双曲函数，相应的分离变量是虚数；若函数与某一坐标量无关或呈线性关系，其解为常数或线性组合，相应的分离变量为零。 例 两个相互平行的半无限大接地导体平面，间距为 d ，其有限端被电位为 ?0 的导电平面封闭，且与半无限大接地导体平面绝缘，如图所示。试求三个导体平面形成的槽中电位分布。 O d x y ? = 0 ? = 0 ? = ?0 解 选取直角坐标系。由于导电平面沿 z 轴无限延伸，槽中电位分布函数一定与 z 无关，因此，这是一个二维场的问题。电位所满足的拉普拉斯方程变为 1）边值问题 2）分离变量 （1） 令 代入（1）式，得 其中 令 3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解 选择常微分方程解的形式 故 4）利用给定边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。 利用傅立叶级数展开法，得系数En为 最后求得槽中电位分布函数为 式中 。 0 d x y ? = 0 ? = 0 ? = ?0 电场线 等位面 电场线及等位面分布如右图示： 作 业 3-4 3-21 习题 * * * 第二章 复 习 本章主要内容是，讨论了真空中和介质中的静电场特性。根据亥姆霍兹定理导出了静电场方程的微分形式，介质在静电场的作用下发生的极化现象，静电场的边界条件，电容的计算，以及静电场的能量和力的计算。 主要定律是，高斯定律和