第七章平面问题的极坐标概述.pptVIP

于是得： 边界条件楔形体左右两面： 第七节 楔形体在楔顶或楔面受力 上述应力分量满足该边界条件。 集中力F按圣维南原理处理，取出任一圆柱面ab，则该截面上的应力和F成平衡力系： 第七节 楔形体在楔顶或楔面受力 将σρ的表达式代入，可求出C、D，最后得到解答： 当 时 成为弹性半平面受垂直集中力的问题，该问题在建筑工程中有十分重要的意义。 h ρ φ F 1. 沿极线方向是主方向，也就是主应力迹线，与之垂直的半圆也是主应力迹线。 2 .如图，该圆上各处的应力值相同，也就是成应力等值线（压力泡），并随h的大小成反比。 3. 应力值不仅随深度衰减，并且也向两侧减少。 弹性半平面受垂直集中力 根据坐标变换公式 和极坐标应力分量 可得到直角坐标分量 F x y 从而得到 ， 沿某一水平面的分布可求 见教材p167 第七节 楔形体在楔顶或楔面受力 2 设在顶部受有力偶M作用 根据和前面相似的分析，应力分量应为MN/ρ2的形式，其中N是α、β、φ、组成的无量纲的量。而应力函数应与ρ无关 代入相容方程后得 求解这一微分方程，得 第七节 楔形体在楔顶或楔面受力 以上应力函数的设定方法都是量纲分析，这是应力函数半逆解法的主要方法之一。 2 设在顶部受有力偶M作用 力偶可看成反对称力，正应力和应力函数应当是φ的奇函数，从而A=D=0,于是 第七节 楔形体在楔顶或楔面受力 于是： 边界条件楔形体左右两面 上述应力分量自动满足第一式，根据第二式，可得 第七节 楔形体在楔顶或楔面受力 集中力偶M按圣维南原理处理，取出任一圆柱面ab，则该截面上的应力和M成平衡力系： 最后得到解答： 第七节 楔形体在楔顶或楔面受力 求解这一微分方程，得: 3 一面受均布压力q 应力分量应为qN的形式，而应力函数应为qNρ2的形式 代入相容方程后得 ρ 第七节 楔形体在楔顶或楔面受力 3 一面受均布压力q 边界条件为: 求解常数，最后的解答为： ρ 第八节 圆孔的孔边应力集中 板中开有小孔，孔边的应力远大于无孔时的应力，也大于距孔稍远处的应力，称为孔边应力集中。 应力集中的程度与孔的形状有关，一般说来，圆孔孔边的集中程度最低。孔边应力集中圆孔在板边受力简单时，在这里进行分析，较为复杂的情况一般用复变函数方法。 第八节 圆孔的孔边应力集中 1. 矩形板四边受q的均布拉力 矩形板在离边界较远处有半径为a的小孔。直边的边界条件，宜用直角坐标，圆孔边界宜用极坐标，因此需要将直边的边界条件变为圆边的边界条件。为此，以远大于a的半径，以小孔中心为圆心作圆，根据直角坐标与极坐标的变换公式，大圆边界上的应力为: 可见，问题与受外压力的圆环相同，其解可由拉密解答得出， 第八节 圆孔的孔边应力集中 以远大于a的半径，以小孔中心为圆心作圆，根据直角坐标与极坐标的变换公式，得到大圆的边界条件 2. 矩形板一对边受集度为q的均布拉力 该边界条件比较复杂，难于找到合适的应力函数。设其为cosφ或cos2φ都不行。 第八节 圆孔的孔边应力集中 根据观察，如果y方向有集度为q的压力，则边界上的应力将大大简化，于是我们转而考虑一对边受集度为q的均布拉力，一对边受集度为q的均布压力的问题，这时的边界条件为： 3. 一对边受集度为q的均布拉力，一对边受集度为q的均布压力 因此可以假设应力函数为： σ ρ τ ρ φ φ 第八节 圆孔的孔边应力集中 代入相容方程得到 于是: 求解这一方程,得到 第八节 圆孔的孔边应力集中 根据边界条件可确定待定的常数，最后得到 应力分量为 第八节 圆孔的孔边应力集中 矩形板一对边受集度为q的均布拉力的解答可由矩形板四边受集度为q/2的均布拉力与一对边受集度为q/2的均布拉力，一对边受集度为q/2的均布压力的解答叠加而得。 = + 作业: p171 页 7-2, 7-8 ,7-10题 第七章 平面问题的极坐标解答 第一节 平衡微分方程 第二节 位移与应变 第三节 基本方程 第四节 轴对称问题 第五节 受均布压力的圆环 第六节 曲梁的纯弯曲 第七节 楔形体在楔顶或楔面受力 第八节 圆孔的孔边应力集中 圆形、楔形、扇形等，边界条件用直角坐标可能十分复杂，而用极坐标却十分简单。 第一节 平衡微分方程 和直角坐标系类似