初等行变换.docVIP

初等行变换 一、基本理论 设为矩阵, 可对实施以下三类初等行变换，将化为行阶梯矩阵和最简行阶梯矩阵. (1)将的第行与第行交换位置; (2)将的第行乘以非零常数; (3)将的第行的倍加到第行. 行阶梯矩阵: 若的每个非零行上方没有非零行, 且每个非零行从左到右第一个非零元所在列号满足. 最简行阶梯矩阵: 若行阶梯矩阵的每个阶梯元为1，且阶梯元所在列的其余元素都为零，则称为最简行阶梯矩阵. 二、Matlab实现 由于需要反复使用三种初等行变换，所以将它们写成函数文件，方便以后调用. 1. 将第i行和第j行交换位置 编写文件rowswap.m如下： function B=rowswap(A,i,j) B=A; B(i,:)=A(j,:); B(j,:)=A(i,:); end 2. 将第i行乘以常数c 编写文件rowscale.m如下： function B=rowscale(A,i,c) B=A; B(i,:)=c*A(i,:); end 3. 将第i行的c倍加到第j行 编写文件rowcomb.m如下： function B=rowcomb(A,i,j,c) B=A; B(j,:)=c*A(i,:)+A(j,:); end 将以上三个函数文件保存到某个目录下, 例如 D:\myfunc下，然后在Matlab的File菜单, Set Path, Add Folder，将D:\myfunc 添加到 Matlab 的有哪些信誉好的足球投注网站路径, Save, Close. 即可在Matlab 中调用这三个函数. 三、例子 例. 将用初等行变换化为行阶梯矩阵和最简行阶梯矩阵. 解. 生成矩阵 A=sym([1 1 1; 4 2 1; 9 3 1]) A = [ 1, 1, 1] [ 4, 2, 1] [ 9, 3, 1] 将的第1行的(-4)倍加到第2行，结果保存到矩阵: B=rowcomb(A, 1, 2, -4) B = [ 1, 1, 1] [ 0, -2, -3] [ 9, 3, 1] 将的第1行的(-9)倍加到第3行，结果仍保存到矩阵 B=rowcomb(B, 1, 3, -9) B = [ 1, 1, 1] [ 0, -2, -3] [ 0, -6, -8] 将的第2行的(-3)倍加到第3行 B=rowcomb(B, 2, 3, -3) B = [ 1, 1, 1] [ 0, -2, -3] [ 0, 0, 1] B已经为行阶梯矩阵. 即可通过初等行变换化成行阶梯矩阵 继续将化成最简行阶梯矩阵. 将第3行的3倍加到第2行 B=rowcomb(B,3,2,3) B = [ 1, 1, 1] [ 0, -2, 0] [ 0, 0, 1] 将第3行的(-1)倍加到第1行 B=rowcomb(B,3,1,-1) B = [ 1, 1, 0] [ 0, -2, 0] [ 0, 0, 1] 将第2行乘以(-1/2)倍 B=rowscale(B,2,-1/2) B = [ 1, 1, 0] [ 0, 1, 0] [ 0, 0, 1] 将第2行的(-1)倍加到第1行 B=rowcomb(B,2,1,-1) B = [ 1, 0, 0] [ 0, 1, 0] [ 0, 0, 1] B已经为最简行阶梯矩阵. 即可通过初等行变换化成如下最简行阶梯矩阵 注：也可直接调用Matlab函数 rref(A), 直接将化成最简行阶梯矩阵 R=rref(A) R = [ 1, 0, 0] [ 0, 1, 0] [ 0, 0, 1] 四、练习 （1）通过初等行变换将下面的矩阵化为行阶梯矩阵及最简行阶梯矩阵. （2）通过初等行变换将下面的矩阵化为行阶梯矩阵及最简行阶梯矩阵.