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第八章 多元函数 第 1 节 一、空间直角坐标系 直角坐标系下 例1. 求证以 三、空间曲面与方程 定义1. 特殊情形 例5. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. 例6（P319-例4） 求球心为点 例7. 研究方程 4. 二次曲面 （2） 椭球面 （3） 双曲面 3. 二次曲面 例如,方程组 表示圆柱面与平面的交线 C. C 又如,方程组 表示上半球面与圆柱面的交线C. 上页 下页 返回 结束 内容小结 2. 空间曲面 三元方程 球面 柱面 如 曲面 表示母线平行 z 轴的柱面. 又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 . 1. 空间任两点间的距离 设 为空间任意两点 上页 下页 返回 结束 三元二次方程 椭球面 抛物面: 椭圆抛物面 双曲抛物面 双曲面: 单叶双曲面 双叶双曲面 椭圆锥面: 上页 下页 返回 结束 * * 上页 下页 返回 结束 一元函数微积分学 多元函数微积分学 极限与连续 偏导数与全微分 重积分 极限与连续 可导与可微 定积分 教学内容及课时分配 8.1 空间解析几何简介……………….……...2学时 8.2 多元函数的概念 8.3 二元函数的极限与连续...……………...2学时 8.4 偏导数与全微分.….……………….…...2学时 8.5 复合函数的微分法与隐函数的微分法…..2学时 8.6 二元函数的极值…………………………..2学时 8.7 二重积分…………….…………………...4学时 （14学时） 上页 下页 返回 结束 重点：偏导数与全微分、多元复合函数的微分法、 二元函数的极值的应用、二重积分的计算。 难点：多元复合函数的微分法、二元函数的极值的 应用问题、二重积分的计算。 上页 下页 返回 结束 说明：多元函数（实际上只讨论二元函数）。极值问 题中的最大值、最小值问题只要求按实际意义 来判断。 教学要求： １.了解多元函数的概念。掌握二元函数的定义与图形特点. ２.知道二元函数的极限与连续性的概念。 ３.理解多元函数偏导数与全微分的概念；熟练掌握求偏导 数与全微分的方法；掌握求多元复合函数偏导数的方法. ４.掌握由一个方程确定的隐函数求偏导数的方法（例如由 Ｆ(x,y,z)=0 确定的隐函数 z=z(x,y),求其偏导数）。 ５.了解二元函数极值与条件极值的概念；掌握用二元函数 极值存在的充要条件求二元函数极值的方法; 掌握用拉 格朗日乘数法求解简单二元函数条件极值问题的方法。 ６.了解二重积分的概念、几何意义与基本性质；掌握在直 角坐标系与极坐标下计算二重积分的常用方法，会计算 一些简单的二重积分。 上页 下页 返回 结束 空间解析几何简介 第八章 上页 下页 返回 结束 一、空间直角坐标系 二、空间任意两点的距离 三、空间曲面与方程 数量关系 — 空间形式 — 点, 线, 面 坐标,方程（组） 四、空间曲线的方程简介 （补充） Ⅶ Ⅱ Ⅲ Ⅵ Ⅴ Ⅷ Ⅳ 由三条互相垂直的数轴按右手 法则组成一个空间直角坐标系. 坐标原点 坐标轴 x轴(横轴) y轴(纵轴) z 轴(竖轴) 过空间一定点 o , 坐标面 卦限(八个) zox面 1. 空间直角坐标系的基本概念 Ⅰ 上页 下页 返回 结束 坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C 点 M 特殊点的坐标 : 有序数组 (称为点 M 的坐标) 原点 O(0,0,0) ; 2. 空间任意一点的坐标 上页 下页 返回 结束 二、空间任意两点间的距离 1. 空间任一点到原点的距离 设点 为空间中任一点 上页 下页 返回 结束 同理可得 2. 空间任两点间的距离 给定空间任意两点的坐标 上页 下页 返回 结束 证: 即 为等腰三角形 . 的三角形是等腰三角形 . 为顶点 上页 下页 返回 结束 例2（类似P318-例1）求与两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等 化简得 说明: 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程. 解: 设轨迹上的动点为 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 等距离点的轨迹方程. 上页 下页 返回 结束 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0