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北师大版七年级数学下册__(2014年春)_第二章《平行线与相交线》考点聚焦
七年级数学下册 第二章《平行线与相交线》考点聚焦 (2012新版)北师大版
相交线、平行线的知识在初中几何中应用非常广泛,在中考中常以填空题或选择题的形式出现,多以由结论探索条件为主要题型.下面我们就来看几道中考题. 一、相交线
考点1 余角概念的运用 【例1】如图,AOB是一条直线,∠AOC=90°,∠DOE=90°,问图中互余的角有哪几对?哪些角是相等的? 【思考与分析】 由互为余角的定义,只需找出图中和为90°的角即可. 解: 因为 ∠AOC=90°,∠AOB=180°, 所以 ∠BOC=90°,∠1与∠2、∠3与∠4互余. 因为 ∠DOE=90°, 所以 ∠2与∠3互余. 因为 ∠1+∠DOE+∠4=180°,∠DOE=90°, 所以 ∠1+∠4=90°.即∠1与∠4互余. 可以得到互余的角有:∠1与∠2,∠2与∠3,∠3与∠4,∠4与∠1. 因为 ∠1与∠2互余,∠2与∠3互余, 所以 ∠1=∠3(同角的余角相等). 因为∠3与∠4互余,∠3与∠2互余, 所以 ∠2=∠4(同角的余角相等). 可以得出相等的角有:∠1=∠3,∠2=∠4,∠AOC=∠DOE=∠BOC. 考点2 对顶角的定义及其性质的运用 【例2】 如图,已知直线AB,CD,MN相交于O,若∠1=22°,∠2=46°,则∠3的度数为 ( ). A.∠1=∠3 B.∠2=∠3 C.∠4=∠5 D.∠2+∠4=180° 【思考与解】 这道题主要考查平行线的判定方法,观察图形,发现∠1和∠3是一组内错角,∠4和∠5 是一组同位角,∠2和∠4是一组同旁内角,而∠2和∠3三种角都不是.因此不能判定直线l1∥l2.所以应选B.
考点3 垂线的定义和性质 【例3】如图,已知FE⊥AB于E,CD是过E的直线,且∠AEC=120°,则∠DEF= . 【思考与分析】我们仔细阅读题目,经过思考发现有两种解法,第一种主要利用垂直的定义和对顶角的性质, 因为∠AEC和∠DEB是对顶角,∠AEC=∠DEB=120°,又因为 FE⊥AB,∠BEF=90°,所以∠DEF=120°-90°=30°;第二种解法主要利用垂直的定义和邻补角的定义,由∠AEC和∠AED互为邻补角,可得∠AED=60°, 再由FE⊥AB于E,可得∠AEF=90°,则∠DEF=90°-60°=30°. 解:∠DEF=30°. 【小结】本题主要考察我们是否掌握了角与角之间的关系,解答这类题目时,我们要清楚地知道有关概念,比如垂直,对顶角,邻补角等. 二、平行线
考点4 平行线的性质与判定证明 【例4】如图,如果∠1=∠2,∠C=∠D,那么∠A=∠F吗?为什么? 【思考与分析】我们从已知条件入手分析题目.∠2和∠3互为对顶角,∠2=∠3,由∠1=∠2可得∠1=∠3,而∠1和∠3是一对同位角,由平行线的判定条件可知BD∥CE,再根据平行线的性质可得∠4=∠C.又因为已知∠C=∠D,我们可以得到∠4=∠D,从而DF∥CA,从而可以推出∠A=∠F. 解:因为∠1=∠2,∠2=∠3, 所以∠1=∠3. 所以BD∥CE. 所以∠4=∠C. 又因为∠C=∠D, 所以∠4=∠D 所以DF∥CA. 所以∠A=∠F.
【例5】 如图所示,DE、BE分别为∠BDC,∠DBA的角平分线,且∠DEB=∠1+∠2. 求证:(1) AB∥CD ; (2)∠DEB=90°. 【思考与分析】(1) 欲证AB∥CD,就应该设法去找同位角,内错角相等,或同旁内角互补,本题直接取证∠CDB与∠ABD互补有些困难,而∠1+∠2=∠DEB,若以E点为顶点,DE为一边在∠DEB的内部作∠DEF=∠2,则可构造EF∥CD,由角平分线不难证明EF∥AB,故可证得AB∥CD.(2) 由(1) 证得AB∥CD后,由同旁内角互补易证,∠1+∠2=90°,可得∠DEB=90°. 解:(1) 以点E为顶点,DE为一边在∠DEB的内部作∠DEF=∠2. ∵ DE为∠BDC的平分线(已知),∴ ∠2=∠EDC(角平分线定义). ∴ ∠FED=∠EDC(等量代换). ∴ EF∥CD(内错角相等,两直线平行). ∵ ∠FEB=∠DEB-∠DEF=∠DEB-∠2,∠1+∠2=∠DEB(已知),
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