全等三角形的构造.docVIP

全等三角形的构造 在角平分线、高线和中线的两侧构造全等三角形 如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD，垂足为D.已知AB=5，BD=2，AC=9. 求证：∠ABC=3∠ACB. 分析：延长BD交AC于E.易得：△ABD≌△AED. 从而求得AE=5，BE=2BD=5. ∴CE=AC-AE=9-5=4. 得等腰三角形BEC，再利用等腰三角形和外角的性质易证. 　　　　A　　　　　　　　　　　　　　　C　　　　E 　　　　D B …D… E B 　　　　　　　　A 　　 　　　　　　　　C 练习：如图，△ABC中，∠C=900，CA=CB，BD是∠B的平分线，AE⊥BD交BD延长线于E. 求证：BD=2AE. 二、倍长中线构造全等三角形 例２. 如图,△ABC中，BD=DC.若AD⊥AC,∠BAD=300. 求证: AC=AB. 简析：虽然AC、AB在同一个三角形中，但无法证得结论。想到BD=DC，即AD是中线，可倍长中线，即延长AD至E，使DE=AD.再连结BE，则易证△BDE≌△CDA.于是∠E=∠CAD，BE=AC.而AD⊥AC.则∠E=９００.在Rt△AEB中，∠BAD=300.所以BE=AB.故AC=AB. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A 　　　　　A　　　　　　　　　　　　　　　F　　E　 B　　　　D　　　　　C　　　　　　　　B　D　　　C　　　　　 　　E　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　H 练习：已知：AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF. 求证：AC=BF. 用三角形的旋转构造全等三角形 旋转９00构造全等三角形 例３：如图，P为正方形ABCD内一点，PA:PB:PC=１:２:３. 求: ∠APB的度数． 分析:本题运用旋转变换，使已知或所求的部分集中到一个基本的图形中，以便顺利地解决问题．运用旋转变换是要注意:（１）确定旋转中心（点B）；（２）确定旋转图形（△BPC）；（３）确定旋转的角度和方向（逆时针转９００）． 解：如图，以B为圆心，将△BPC按逆时针方向旋转９００到BAP．设PA＝а，PB＝２а，PC＝３а. 由作图得PB＝PB＝２а，△BPP为等腰直角三角形. ∴PP＝２а. 又AP＝а，AP＝３а ∴AP２+PP２＝а２+（２а）２＝（３а）２＝AP２ ∴∠APP＝９００，又∠BPP＝４５０. ∴∠APB＝１３５０. 　　　　A　　　　　　　D　　　　　　　　　C　　　　 　　　　　　　P　　　　　　　　　　P　　　　 　 P　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　P　　　 　　　　　B　　　　　　C　　　　　　B　　　　　　A 旋转600构造全等三角形 例4.如图P为等边三角形ABC内一点，PA=2，PB=2, PC=4.求△ABC的边长. 解:如图,以C为圆心,将△ACP按顺时针方向旋转600到 △PBC.则PB=BP=2,∠PBP=600. 得等边三角形PBP．从而PP＝PB=2. 利用勾股定理逆定理，从而得含３００角的Rt△PCP. ∠CPP=300,又∠PBP=600，∴∠CPB＝９００. ∴BC＝==2. 说明：利用旋转能够把分散的已知条件集中在一个三角形中，从而使问题得到解决. 旋转一个定角: 例5 △ABC中, AB=AC,D为其内部一点,若∠ADB∠ADC. 求证: DCDB. (提示:如图把△ADC绕点A顺时针旋转到△ADB处,再连接DD). 　　　　　　A　　　　　　　　　　A　　　　　　　D 　　　D　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　F 　　　　　　D　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　B　　　　C　　　　　G　　　B　E　　　　C 练习1：如图在正方形ABCD的形内作∠EAF=450.角的两边分别交BC、DE于E、F，作AP⊥EF于P．求证：AP=AB. （提示：把△AFD绕点A顺时针旋转９００到△AGB.） 练习２：如图，凸四边形ABCD中，∠ABC=３００，∠ADC=６００，AD=DC.求证： BD２=AB２+BC２.（提示：把△DBC绕点C顺时针旋转６００到△ACE）. 　　　　　 B　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　E　　　　　　　　　　 　　　　A　　　　C　　　　　　　　 　　　　　　D　　　　　　　　　　　　 总之，构造全等三角形，有利于集中利用题目中的已知条件，使之成为由已知到求证的桥梁． （此文获省三等奖） P