3.2整环,除环,域.pptVIP

§3.2 整环，除环，域(3.2 Domain Ring, Divisor Ring and Field) 3.2.2 域 （Field） Def 2：有单位元的可换环（A,+,?）叫做整环，若|A|≥2,且A无零因子。 注：整环满足如下的三个条件： ①乘法适合交换律：ab= ba; ②有单位元：1?a=a; ③无零因子：ab=0 ? a=0或b=0. 例1．①（Z，+，?）是一个整环， 同理（Q,+,?）（R,+,?）（C,+,?）亦然. ② * * 3.2.1 零因子（Zero divisor） Def 1：设A是一个环, a,b∈A, 若ab=0 (且a≠0,b≠0)， 则称a是左零因子，b是右零因子。 若一个元素既是左零因子又是右零因子，则称它为零因子。 例：在M2(Z)中， A是左零因子，B是右零因子。 设 则 所以A也是右零因子，因此A是M2(Z)中的一个零因子。 对可换环，左零因子，右零因子和零因子这三个概念合而为一。 那么在什么情况下，一个环内有零因子呢？零因子与环的什么性质有关呢？ 下面的这个定理回答了这个问题 Th1. 环中无左（右）零因子的充要条件是乘法消去律成立 a≠0，ab=ac ? b=c (左消去律) a≠0，ba=ca ? b=c (右消去律) 证明：必要性? ）a≠0，ab= ac，则有a（b-c）=0。因a≠0且环中无零因子，故必有b-c=0，即 b=c。 类似可证右消去律成立。 充分性?）设若a≠0，则对a b= a 0，施行消去律得b=0；因而不存在a≠0，b≠0，使ab=0，即环中无任何零因子。 由定理可见，环中是否有零因子体现了环内的一种运算上的性质：消去律可否进行，这对方程的求解问题影响很大。 Def 3：环R称为除环，如果（R＊, ? ）是一个群，其中R＊={ a∣a∈R，a≠0}（非零元集）. 注： R＊是群说明：R＊有单位元和逆元存在。 Def 4：环R 称为域，如果R是一个可交换的除环,即（R＊, ? ）是交换群。 注1．由域的定义可知，域是一种特殊的环——可交换 的除环。 注2．具有有限个元素的域称为有限域： |R|=n 否则称为无限域： |R|= ∞ 例2．（Q,+, ? ）（R,+, ? ）（C,+, ? ）都是域，但是（Z，+， ? ）不是域。因为Z＊中关于乘法不构成群： a∈ Z＊的逆元a-1不一定存在， 如 a=3，则a-1= 3-1?Z＊。 Th 2.设（R,+,?）是一个环，且有单位e，若a∈R* 关于乘法有逆元，则a不是零因子，从而除环没有零因子，域是整环。 证明：① 设ab=0，则 a-1(ab)=a-10=0, a-1(ab)= (a-1a)b = e b= b， 从而b=0.同样，若ba=0，则可推得b=0，从而a不是零因子。 ② 因为除环中每一个a≠0可逆，由①知除环没有零因子。 ③ 因为域是除环，故域没有零因子；又域是有单位元e≠0的可换环，故域是整环。 例3．剩余类环（Z/（n），+，?），当n不是素数时，Z/（n）中有零因子，因为 则有 所以 是零因子。但是当n是素数时，Z/（n） 是域。设n=p是素数,则 由于（k, p）=1,存在a,b∈Z,使ak+bp=1, 都有 的逆元，故 是群。因而 是域，且为有限域，是最简单的有限域。 .即对 我们把上面的讨论归结为下面的命题。 命题：（Z/（n），+，·）是域 ? n是素数p. 关于一般的有限环还有以下定理 Th3.一个非零的有限的无零因子环是除环。 证明：设环R≠{0}， |R|=n ∞,则R*≠? （R*, ·）是有限半群，由于R 中无零因子，故在R 中消去律成立，（R*, · ）中消去律亦成立（因 而在R*中有单位元e=1, ae=a ? e=1; 且逆元xa=e ? x=a-1）, 故（R*, ·）是群，所以（R,+, ·）是除环。 推论：有限整环是域。