最优控制问题概论.pptVIP

10.4 最优控制问题概论* 10.4.1 最优控制概述 从20世纪50年代末迅速发展起来的现代控制理论中,最优控制是其中一个主要内容,亦是目前较活跃的一个分支。 最优控制问题是从大量的实际问题中提炼出来的,它的发展与航空、航天、航海的制导、导航和控制技术密不可分。 下面先通过几个应用实例来引出最优控制问题,然后讨论最优控制问题的描述及数学表达。 内容为 最优控制问题的提出 最优控制问题的描述 10.4.1.1 最优控制问题的提出 考虑下面实际最优控制问题的例子。 飞船的月球软着陆问题 1) 飞船的月球软着陆问题 飞船靠其发动机产生一个与月球的重力方向相反的推力,以控制飞船实现软着陆,即落到月球时的速度为零。 问题要求选择发动机推力程序,使飞船携带的燃料最少或着陆时间最短(最速升降问题)。 设飞船的质量为m,高度和垂直速度分别为h和v,月球的重力加速度可视为常数g,飞船的自身质量及所携带的燃料分别为M和F。 若飞船于某一初始时刻起开始进入着陆过程,由牛顿第二定理和物料(燃料)平衡关系可知,飞船的运动方程为 要求控制飞船从初始状态 h(0)=h0, v(0)=v0, m(0)=M+F 出发, 在某一末态时刻 tf 实现软着陆, 即 h(tf)=0, v(tf)=0 控制过程中, 推力 f(t) 不能超过发动机所能提供的最大推力 fmax, 即 -fmax ? f(t) ? fmax 满足上述约束条件, 使飞船实现软着陆的推力程序并非一种, 其中消耗燃料最少的称为燃料控制问题, 着陆时间最短的称为最速升降问题或时间最优控制问题。 10.4.1.2 最优控制问题的描述 从前面的应用实例可以看出,最优控制问题可以抽象成共同的数学问题描述,这将给最优控制理论的研究带来方便。 所谓最优控制问题的描述,就是将通常的最优控制问题抽象成一个统一描述的数学问题,并用数学语言严格地表述出来。 最优控制问题的描述包括: 被控系统的数学模型 目标集 容许控制 性能指标 最优控制问题的描述 1. 被控系统的数学模型 前面讨论的飞船控制系统是非线性系统, 所建立的描述该最优控制问题的数学模型都为状态空间表达式。 因此,对一般被控系统的最优控制问题,其数学模型可以用如下非线性时变系统的状态空间表达式来描述: 式中,x为n维状态向量;u为r维输入向量;y为m维输出向量; f(x,u,t)和g(x,u,t)分别为n维和m维关于状态向量x、输入向量u和时间t的非线性函数向量。 对许多实际被控系统,在一定精度范围内,其最优控制问题中的数学模型也可以分别采用 线性定常系统、 线性时变系统和 非线性定常系统 的状态空间表达式来描述。 2. 目标集 动态系统在控制u(t)的作用下总要发生从一个状态到另一个状态的转移,这种转移可以理解为状态空间的一个点或系统状态的运动。 在最优控制问题中,系统运动的初始状态(称初态)通常是已知的, 即 x(t0)=x0 为已知, 而所要达到的最终状态(称末态)是控制所要求达到的目标。 因问题而异,末态可以是状态空间的一个点,更为一般的情况是末态要落在事先规定的范围内,如要求末态满足如下约束条件 g1(x(tf),tf)=0 g2(x(tf),tf)?0 式中,g1(x(tf),tf) 和 g2(x(tf),tf)为关于末态时刻tf和末态状态x(tf) 的非线性向量函数。 上述末态约束条件概括了对末态的一般要求。 实际上, 该末态约束条件规定了状态空间中的一个时变的或时不变的集合, 此种满足末态约束的状态集合称为目标集, 记为M, 并可表示为 M = {x(tf) : x(tf)?Rn, g1(x(tf),tf)=0, g2(x(tf),tf) ? 0 } 需要指出的是,有些最优控制问题并没有对末态加以约束,则该问题的目标集为整个状态空间Rn,但此时并不意味着对末态没有要求,系统还可以通过下面要介绍的性能指标等约束末态。 至于末态时刻tf,它可以事先规定,也可以由对末态的约束条件和性能指标等约束。 3. 容许控制 输入向量u(t)的各个分量ui(t)往往是具有不同的物理属性和意义的控制量,在实际系统中,大多数控制量受客观条件的限制,只能在一定范围内取值。 如飞船控制系统中控制量有大小范围的限制;又如在控制量为开关量的控制系统中,输入仅能取有限的几个值,如-1,+1。 由控制量约束条件所规定的点集称为控制域, 并记为U。 凡在闭区间[t0,tf]上有定义,且在控制域U内取值的每一个控制函数u(t)称为容许控制,并记为u(t)?U。 通常假定容许控制u(t)是一个有界连续函数或者是分段连续函数。 4. 性能指标 性能指标函数又称为指标泛函、目标函数、代价函数和评价函数等。 从前面的应用实例可