高等数学微积分11.2.3一阶线性方程剖析.ppt

11.2.3 一阶线性微分方程 First Order Linear Equations * College of mathematics * 上一页 | 首页 | 下一页 * College of mathematics * 上一页 | 首页 | 下一页 * College of mathematics * 一阶线性微分方程的一般形式： 标准形式： 非齐次线性方程 对应齐次线性方程： 自由项 一次幂 线性方程的例子： 非线性方程： 可分离变量 分离变量： 积分： 取消对数： 对应齐次方程 (2.7)的通解 现求原方程 的通解 令原方程的通解为： 常数变易 其中 C(x) 为待定函数。 求导： 代入原方程： 原方程的通解： 一阶线性方程 的通解： 以上求一阶线性微分方程的通解的方法称为常数变易法 它是求线性齐次微分方程的解的一种方法 Variation of parameters 一阶线性方程的解的结构 对应齐次方程的通解 原方程的一个特解 一阶线性方程的解的结构定理 一阶线性微分方程的通解等于其对应齐次线性方程的通解与原方程的一个特解之和 类似于线性方程组的通解结构 例 2.4 Solve： Solution This is a linear equation The standard form: The general solution: (The general solution) Recall that with(DEtools):with(plots): wffc:=x*diff(y(x),x)+y(x)=sin(x):dsolve(wffc,implicit); fangxiangcang:=DEplot(wffc,y(x),x=-2..2,y=-2..2,thickness=2): jifenquxian:=contourplot(x*y+cos(x),x=-2..2,y=-2..2,contours=20,color=blue,thickness=2): display(fangxiangcang,jifenquxian); Its directional field and integral curves with(DEtools): DEplot(x*diff(y(x),x)+y(x)=sin(x),y(x),x=-2..2, [[y(-1)=-1],[y(1)=0],[y(-1)=0.8],[y(1)=1.6],[y(1)=2.4],[y(-1)=2]], y=-2..4,linecolor=[black,blue,red,brown,green,navy], color=violet,stepsize=0.01,scaling=constrained); Its directional field and some integral curves passing through 例2.5 解方程： 解 方程的类型？ 不能分离变量 不是齐次方程 整理： 不是 y 的线性方程 倒过来看看： 原来是 x 的线性方程！ 标准化： 通解： 或 通解： 验： 原方程 with(DEtools):with(plots): wffc:=(x-y(x)^3)*diff(y(x),x)+y(x)=0:dsolve(wffc); fangxiangcang:=DEplot(wffc,y(x),x=-2..2,y=-2..2,thickness=2): jifenquxian:=contourplot(x*y-y^4/4,x=-2..2,y=-2..2,contours=20,color=blue,thickness=2): display(fangxiangcang,jifenquxian); Its directional field and integral curves