计算方法第四章插值法剖析.ppt

第4章 插值法 §1 插值问题 §2 线性插值与二次插值 §3 代数多项式插值的存在唯一性 §4 代数多项式的余项 §5 拉格朗日插值多项式 §6 牛顿均差插值多项式 §7 牛顿前差和后差插值多项式 §8 三次样条插值 §9 数值微分 §10 曲线拟合法 §1 插值问题 取前n+1项的部分和Pn(x)作为f (x)的近似式，也即： 代数多项式形式简单，便于计算， 且在某些情况下与给定的函数有较好的逼近的特性 §2 线性插值与二次插值 2.1 线性插值 线性插值是代数多项式插值的最简单的形式。假设给定了函数f (x)在两个互异点x0，x1的值,即 现要用一线性函数 φ(x)=P1(x)=ax+b 近似地代替f (x)。按照插值原则，有： 2.2 二次插值 二次插值又称为抛物线插值,也是常用的代数多项式插值之一。设已知函数f(x)的三个互异插值基点x0，x1，x2的函数值分别为y0，y1，y2,见下表所示: 现要构造一个二次函数 φ(x)=P2(x)=ax2+bx+c 近似地代替f (x)，并满足插值原则 P2(xi)=yi， i=0，1，2，… §3 代数多项式插值的存在唯一性 对于一般的代数插值问题，就是寻求一个n次的代数多项式： Pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn 使其在给定的n+1个互异的插值基点上满足插值原则 Pn(xi)=yi，i=0，1，…，n 根据插值原则式，代数多项式中的各个系数a0，a1，…，an应满足下列n+1阶线性方程组 系数行列式为范德蒙特(Vander Monde)行列式 §4 代数多项式的余项 一般说来,对插值区间［a，b］上插值基点xi (i=0，1，2，…，n)以外的点，P n (x) ≠f (x)。若令： R n (x) = f (x) –P n(x) 则： f (x) = P n (x) +R n (x) 由上面定理有一下几点结论: (1) 插值多项式只与插值基点及基点上的函数值有关，与函数f(x)没有关系。但余项Rn(x)却与f(x)联系很紧。 §5 拉格朗日插值多项式 例：已知函数 y=f (x)的观测数据为 已知函数y=f(x)的观测数据为 §6 牛顿均差插值多项式 依据条件，根据插值原则，可以依次确定系数a0，a1，…，an，例如： 取x=x0，得 取x=x1 ,得 二 差商的定义 给定[a,b]中互不相同的点x0，x1，x2，…，以及f(x)在这些点处相应的函数值 f(x0)，f(x1)，f(x2)，…，用记号 表示f(x)在x0及x1两点的一阶差商。 x0，x1，x2三点的二阶差商为： 一般地，有了k-1阶差商之后，可以定义f(x)在x0，x1，..，x k的k阶差商： 例3 已知数据表，构造f (x)的牛顿均差插值多项式。 P3(x) = 0+(-5)(x-1)+2(x-1)(x-2) +(x-1)(x-2)(x-3) = x3-4x2+3 §7 牛顿前差和后差插值多项式 当插值基点x0,x1,…,xn分布等距时,也即 h=x k+1 -xk, k=0,1,2,…,n-1 牛顿均差插值多项式的表达形式可以简化。为此先引进有限差概念。 7.1 有限差 我们分别称 并规定零阶前、后差为 (2) 均差与前、后差的关系可表示为 7.2 牛顿前差和后差插值多项式 1.牛顿前差插值多项式 在牛顿均差插值多项式(4―24)中,按式