高中数学：4.1.1《定积分的概念》教案（北师大版选修2-2）.docVIP

§1 定积分概念 第一课时 曲边梯形的面积 一、教学目标：理解求曲边图形面积的过程：分割、以直代曲、逼近，感受在其过程中渗透的思想方法。 二、教学重难点：　　 重点：掌握过程步骤：分割、以直代曲、求和、逼近（取极限） 难点：对过程中所包含的基本的微积分 “以直代曲”的思想的理解 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程在某一区间上的图像是一条连续不断的曲线，那么就把函数称为区间上的连续函数．（不加说明，下面研究的都是连续函数） 2、新课探析 问题：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线的一段，我们把由直线和曲线所围成的图形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积？ 例题：求图中阴影部分是由抛物线，直线以及轴所围成的平面图形的面积S。 思考：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？（2）能否将求这个曲边梯形面积S的问题转化为求“直边图形”面积的问题？ 分析：曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段．“以直代曲”的思想的应用． 把区间分成许多个小区间，进而把区边梯形拆为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代取”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S．也即：用划归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积． 解： （1）．分割 在区间上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间：，，…， 记第个区间为，其长度为 分别过上述个分点作轴的垂线，从而得到个小曲边梯形，他们的面积分别记作： ，，…，显然， （2）近似代替 记，如图所示，当很大，即很小时，在区间上，可以认为函数的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点处的函数值，从图形上看，就是用平行于轴的直线段近似的代替小曲边梯形的曲边（如图）．这样，在区间上，用小矩形的面积近似的代替，即在局部范围内“以直代取”，则有 ① （3）求和：由①，上图中阴影部分的面积为 ====，从而得到的近似值 （4）取极限：分别将区间等分8，16，20，…等份（如图），可以看到，当趋向于无穷大时，即趋向于0时，趋向于，从而有 从数值上的变化趋势： 3．求曲边梯形面积的四个步骤:第一步：分割．在区间中任意插入各分点，将它们等分成个小区间，区间的长度，第二步：近似代替，“以直代取”。用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值．第三步：求和．第四步：取极限。 说明：1．归纳以上步骤，其流程图表示为：分割以直代曲求和逼近 2．最后所得曲边形的面积不是近似值，而是真实值 练习：课本P76练习题：设S表示由曲线，x=1，以及x轴所围成平面图形的面积。 四、课堂小结：求曲边梯形的思想和步骤：分割以直代曲求和逼近 （“以直代曲”的思想） 五、教学后记 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m x x x 1 x 1 x y 1 x y y