高中数学：2.9《平面上两点间的距离》教案（苏教版必修2）.docVIP

平面上两点间的距离 【学习导航】 知识网络 学习要求 1．掌握平面上两点间的距离公式、中点坐标公式； 2．能运用距离公式、中点坐标公式解决一些简单的问题． 【课堂互动】 自学评价 （1）平面上两点之间的距离公式为 ． （2）中点坐标公式：对于平面上两点，线段的中点是，则． 【精典范例】 例1：（1）求A(-1,3)、B（2，5）两点之间的距离； （2）已知A（0，10），B（a，-5）两点之间的距离为17，求实数a的值． (2) 由两点间距离公式得,解得 a=． 故所求实数a的值为8或-8． 例2：已知三角形的三个顶点，试判断的形状． 分析：计算三边的长，可得直角三角形． 【解】 , ∵， ∴为直角三角形. 点评：本题方法多样，也可利用、斜率乘积为-1，得到两直线垂直. 例3：已知的顶点坐标为，求边上的中线的长和所在的直线方程． 分析：由中点公式可求出中点坐标,分别用距离公式、两点式就可求出的长和所在的直线方程． 【解】如图，设点． ∵点是线段的中点， ∴ ， 即的坐标为． 由两点间的距离公式得． 因此，边上的中线的长为． 由两点式得中线所在的直线方程为 ，即． 点评:本题是中点坐标公式、距离公式的简单应用. 例4．已知是直角三角形，斜边的中点为，建立适当的直角坐标系， 证明：．的直角边所在直线为坐标轴，建立适当的直角坐标系， 设两点的坐标分别为， ∵是的中点， ∴点的坐标为，即． 由两点间的距离公式得 所以，． 追踪训练一 1.式子可以理解为() 两点(a,b)与(1,-2)间的距离 两点(a,b)与(-1,2)间的距离 两点(a,b)与(1,2)间的距离 两点(a,b)与(-1,-2)间的距离 2.以A(3,-1), B(1,3)为端点的线段的垂直平分线的方程为 () 2x+y-5=0 2x+y+6=0 x-2y=0 x-2y-8=0 3. 线段AB的中点坐标是(-2,3),又点A的坐标是(2,-1),则点B的坐标是． 4．已知点，若点在直线上，求取最小值． 解:设点坐标为,∵在直线上，∴， ， ∴的最小值为． 【选修延伸】 对称性问题 例5: 已知直线，（1）求点关于对称的点；（2）求关于点对称的直线方程． 分析：由直线垂直平分线段，可设，有垂直关系及中点坐标公式可求出点；而关于点对称的直线必平行，因此可求出对称的直线方程． 【解】（1）设，由于⊥，且中点在上，有 ，解得　 ∴ （2）在上任取一点，如，则关于点对称的点为． ∵所求直线过点且与平行， ∴方程为，即． 例6：一条光线经过点,射在直线上，反射后，经过点，求光线的入射线和反射线所在的直线方程． 分析：入射光线和反射光线所在直线都经过反射点，反射直线所在直线经过点关于直线的对称点． 【解】入射线所在的直线和反射线所在的直线关于直线对称，设点关于直线对称点的坐标为，因此的中点在直线上，且所在直线与直线垂直， 所以， 解得． 反射光线经过两点，∴反射线所在直线的方程为． 由得反射点． 入射光线经过、两点， ∴入射线所在直线的方程为． 点评:求点关于直线的对称点，通常都是根据直线垂直于直线，以及线段的中点在直线上这两个关系式列出方程组，然后解方程组得对称点的坐标． 思维点拔： 平面上两点间的距离公式为，线段中点坐标为.平面上两点间距离公式及中点坐标公式有着广泛的应用，如：计算图形面积，判断图形形状等.同时也要注意掌握利用中点坐标公式处理对称性问题. 追踪训练二 1．点(-1,2)关于直线x+y-3=0的对称点的坐 标为 ( ) (1,4) (-1,4) (1,-4) (-1,-4) 2．直线3x-y-2=0关于x轴对称的直线方程为． 3．已知点,试求点的坐标,使四边形为等腰梯形． 答案:点的坐标为或． 4．已知定点，，，求的最小值． (数形结合:将看成是轴上的动点与两点的距离和,利用对称性,得到最小值为). 平面上两点间的距离 分层训练 1. 若 ，则下面四个结论： ①；②；③；④．其中，正确的个数是 ( ) (A)１个. 　　　　 (B) 2个. (C)3个. 　　　　 (D) 4个. 2. 点关于点的对称点的坐标是　　　　　　　　　　　　　　(　 ) (A) 　(B) (C) 　　　(D) 3. 若过点的直线交轴于点点，且，则直线的方程为 （ ） (A) 　(B) (C) 　 　 (D) 4.直线关于点对称的直线的方程是 　　　　　　　　　　　　（ ） (A) 　　(B) (C) 　 　 (