高中数学：3.1回归分析 （一） 教案 （北师大选修2-3）.docVIP

3.1 回归分析 教学目标 （1）通过实例引入线性回归模型，感受产生随机误差的原因； （2）通过对回归模型的合理性等问题的研究，渗透线性回归分析的思想和方法； （3）能求出简单实际问题的线性回归方程． 教学重点，难点 线性回归模型的建立和线性回归系数的最佳估计值的探求方法． 教学过程 一．问题情境 1． 情境：对一作直线运动的质点的运动过程观测了次，得到如下表所示的数据，试估计当x=９时的位置y的值． 时刻/s 位置观测值/cm 根据《数学（必修）》中的有关内容，解决这个问题的方法是： 先作散点图，如下图所示： 从散点图中可以看出，样本点呈直线趋势，时间与位置观测值y之间有着较好的线性关系．因此可以用线性回归方程来刻画它们之间的关系．根据线性回归的系数公式， 可以得到线性回归方为，所以当时，由线性回归方程可以估计其位置值为 2．问题：在时刻时，质点的运动位置一定是吗？ 二．学生活动 思考，讨论：这些点并不都在同一条直线上，上述直线并不能精确地反映与之间的关系，的值不能由完全确定，它们之间是统计相关关系，的实际值与估计值之间存在着误差． 三．建构数学 1．线性回归模型的定义： 我们将用于估计值的线性函数作为确定性函数； 的实际值与估计值之间的误差记为，称之为随机误差； 将称为线性回归模型． 说明：（1）产生随机误差的主要原因有： ①所用的确定性函数不恰当引起的误差； ②忽略了某些因素的影响； ③存在观测误差． （2）对于线性回归模型，我们应该考虑下面两个问题： ①模型是否合理（这个问题在下一节课解决）； ②在模型合理的情况下，如何估计，？ 2．探求线性回归系数的最佳估计值： 对于问题②，设有对观测数据，根据线性回归模型，对于每一个，对应的随机误差项，我们希望总误差越小越好，即要使越小越好．所以，只要求出使取得最小值时的，值作为，的估计值，记为，． 注：这里的就是拟合直线上的点到点的距离． 用什么方法求，？ 回忆《数学3（必修）》“2．4线性回归方程”P71“热茶问题”中求，的方法：最小二乘法． 利用最小二乘法可以得到，的计算公式为 ， 其中， 由此得到的直线就称为这对数据的回归直线，此直线方程即为线性回归方程．其中，分别为，的估计值，称为回归截距，称为回归系数，称为回归值． 在前面质点运动的线性回归方程中，，． 3． 线性回归方程中，的意义是：以为基数，每增加1个单位，相应地平均增加个单位； 4． 化归思想（转化思想） 在实际问题中，有时两个变量之间的关系并不是线性关系，这就需要我们根据专业知识或散点图，对某些特殊的非线性关系，选择适当的变量代换，把非线性方程转化为线性回归方程，从而确定未知参数．下面列举出一些常见的曲线方程，并给出相应的化为线性回归方程的换元公式． （1），令，，则有． （2），令，，，则有． （3），令，，，则有． （4），令，，，则有． （5），令，，则有． 四．数学运用 1．例题： 例1．下表给出了我国从年至年人口数据资料，试根据表中数据估计我国年的人口数． 年份 人口数/百万 解：为了简化数据，先将年份减去，并将所得值用表示，对应人口数用表示，得到下面的数据表： 作出个点构成的散点图， 由图可知，这些点在一条直线附近，可以用线性回归模型来表示它们之间的关系． 根据公式（1）可得 这里的分别为的估 计值，因此线性回归方程 为 由于年对应的,代入线性回归方程可得（百万），即年的人口总数估计为13.23亿. 例2． 某地区对本地的企业进行了一次抽样调查，下表是这次抽查中所得到的各企业的人均资本（万元）与人均产出（万元）的数据： 人均 资本 /万元 人均 产出 /万元 （1）设与之间具有近似关系（为常数），试根据表中数据估计和的值； （2）估计企业人均资本为万元时的人均产出（精确到）． 分析：根据，所具有的关系可知，此问题不是线性回归问题，不能直接用线性回归方程处理．但由对数运算的性质可知，只要对的两边取对数，就能将其转化为线性关系． 解（1）在的两边取常用对数，可得，设，，，则．相关数据计算如图所示． 1 人均资本/万元 3 4 5.5 6.5 7 8 9 10.5 11.5 14 2 人均产出/万元 4.12 4.67 8.68 11.01 13.04 14.43 17.5 25.46 26.66 45.2 3 0.47712 0.60206 0.74036 0.81291 0.8451 0.90309 0.95424