高中数学：2.9《导数的实际应用3》教案（北师大版选修2-2）.docVIP

第九课时 导数的实际应用（三） 一、教学目标：使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用教学难点：教学过程利润最大、用料最省、效率最高等 （三）、典例分析 例1、磁盘的最大存储量问题 计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit）。 为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于，每比特所占用的磁道长度不得小于。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。 问题：现有一张半径为的磁盘，它的存储区是半径介于与之间的环形区域． （1）是不是越小，磁盘的存储量越大？（2）为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？ 解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。 设存储区的半径介于与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于，且最外面的磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达。由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达。所以，磁盘总存储量 × （1）它是一个关于的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是越小，磁盘的存储量越大． （2）为求的最大值，计算． 令，解得当时，；当时，． 因此时，磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为 例2、汽油的使用效率何时最高 我们知道，汽油的消耗量（单位：L）与汽车的速度（单位：km/h）之间有一定的关系，汽油的消耗量是汽车速度的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题： （1）是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？（2）“汽油的使用率最高”的含义是什么？ 分析：研究汽油的使用效率（单位：L/m）就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比值．如果用表示每千米平均的汽油消耗量，那么，其中，表示汽油消耗量（单位：L），表示汽油行驶的路程（单位：km）．这样，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求的最小值的问题． 通过大量的统计数据，并对数据进行分析、研究，人们发现，汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率（即每小时的汽油消耗量，单位：L/h）与汽车行驶的平均速度（单位：km/h）之间有如图所示的函数关系． 从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问题．因此，我们首先需要将问题转化为汽油平均消耗率（即每小时的汽油消耗量，单位：L/h）与汽车行驶的平均速度（单位：km/h）之间关系的问题，然后利用图像中的数据信息，解决汽油使用效率最高的问题． 解：因为 这样，问题就转化为求的最小值．从图象上看，表示经过原点与曲线上点的直线的斜率．进一步发现，当直线与曲线相切时，其斜率最小．在此切点处速度约为90． 因此，当汽车行驶距离一定时，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此时的车速约为90．从数值上看，每千米的耗油量就是图中切线的斜率，即，约为 L． 例3、在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数同，记为C(x)，出售x单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)。 （1）、如果C(x)＝，那么生产多少单位产品时，边际最低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量) （2）、如果C(x)=50x＋10000，产品的单价P＝100－0.01x，那么怎样定价，可使利润最大？ 变式：已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为．求产量q为何值时，利润L最大？ 分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格．由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润． 解：收入， 利润 令，即，求得唯一的极值点 答：产量为84时，利润L最大 （四）、课堂练习：在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？ 解析根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点x km,则∵BD=40,AC=50－x, ∴BC= 又设总的水管费用为y元，依题意有y=30(5a－x)+5a (0＜x＜50) y′=－3a+,令y′=0,解得x=30在(0,50)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义， 函数在x=30(km)处取得最小值，此时AC=50－x=20(km)∴供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省 （五）