高中数学（苏教版）必修5精品教学案全集：数列 第15、16课时——数列复习课（2课时）（学生版） .docVIP

第15、16课时 数列复习课(2课时) 【学习导航】 知识网络 【自学评价】 （一）数列的概念 数列的定义（一般定义，数列与函数）、数列的表示法。 数列的通项公式。 求数列通项公式的一个重要方法： 对于任一数列,其通项和它的前n项和之间的关系是 （二）等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质 1.等差数列 (1)定义 (2)通项公式=+（ ）d=+（ ）d=+-d (3)求和公式 (4)中项公式A= 推广：2= (5)性质 ①若m+n=p+q则 ②若成A.P（其中）则也为A.P。 ③ 成 数列。 ④ 2.等比数列 (1)定义 (2)通项公式 (3)求和公式 (4)中项公式。 推广： (5)性质 ①若m+n=p+q，则 ②若成等比数列 （其中），则成等比数列。 ③ ④ 3. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法： (1)定义法: (2)通项公式法。 (3)中项公式法: 4. 在等差数列中,有关Sn 的最值问题： (1)当0,d0时，满足的项数m使得取 。 (2)当0,d0时，满足的项数m使得取 。 在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 （三）、数列求和的常用方法： 公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等。 1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 2. :适用于其中{ }是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。 3. :适用于其中是等差数列，是各项不为0的等比数列。 4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法。 5.常用结论 1） 1+2+3+...+n = 2）1+3+5+...+(2n-1) = 3） 4） 5） 6） 【精典范例】 一 函数方程思想在研究数列问题中的运用 【例1】（1）首项为正数的等差数列｛a｝，其中S=S，问此数列前几项和最大？ （2）等差数列｛a｝中，S=100，S=300，求 S。 （3）等差数列的公差不为0，a=15,a,a,a成等比数列，求S。 【解】 二 求数列的通项公式 观察法 观察法就是观察数列特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数n的内在联系，从而归纳出数列的通项公式。 【例2】写出下面各数列的一个通项公式 （1），…； （2）1，－…； （3）…； （4）21，203，2005，20007，…； （5）0.2,0.22,0.222,0.2222,…； （6）1，0，1，0，…； （7）1，… 【解】 【例3】已知下列各数列｛a｝的前n项和S的公式，求｛a｝的通项公式。 S=10－1；（2）S=10+1； 【解】 评析 已知｛a｝的前n项和S求a时应注意以下三点： (1)应重视分类类讨论的应用，要先分n=1和n≥2两种情况讨论，特别注意由S－S= a推导的通项a中的n≥2。 (2)由S－S= a，推得的a且当n=1时，a也适合“a式”，则需统一“合写”。 (3)由S－S= a推得的a，当n=1时，a不适合“a式”，则数列的通项应分段表示（“分号”），即 如本例中（2），（3）。请观察本例中（1）与（2）的差异及联系。 累差法 若数列｛a｝满足a－a=f(n)(n),其中｛f(n)｝是易求和数列，那么可用累差法求a。 【例4】求数列1，3，7，13，21，…的一个通项公式。 【解】 累商法 若数列｛a｝满足=f(n)( n),其中数列｛f(n)｝前n项积可求，则可用累商法求a. 【例5】在数列｛a｝中，a=2，a= a,求通项a。 【解】 构造法 直接求通项a较难求，可以通过整理变形等，从中构造出一个等差或等比数列，从而将问题转化为较易求解的问题，进一步求出通项a。 【例6】各项非零的数列｛a｝，首项a=1,且2S=2aS－a,n≥2,求数列的通项a。 【解】 三 数列求和 数列求和是数列部分的重要内容，求和问题也是很常见的试题，对于等差数列，等比数列的求和主要是运用公式；某些既不是等差数，也不是等比数列的求和问题，一般有以下四种常用求和技巧和方法。 1.公式法 能直接应用等差数列或等比数列的求和公式以及正整数平方和，立方和公式寻求和的方法。 【例7】数列｛a｝的通项a=n－