高中数学（北师大版）教学设计 必修一：2-3-函数的单调性.docVIP

教学设计 §3　函数的单调性 教学分析　　　　　 在研究函数的性质时，单调性是一个重要内容．实际上，在初中学习函数时，已经重点研究了一些函数的增减性，只是当时的研究较为粗略，未明确给出有关函数增减性的定义，对于函数增减性的判断也主要根据观察图像得出．而本节内容，正是初中有关内容的深化和提高．给出函数在某个区间上是增函数或减函数的定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的，还说明判断函数的增减性既有从图像上进行观察的较为粗略的方法，又有根据定义进行证明的较为严格的方法，最好根据图像观察得出猜想，用推理证明猜想的正确性，这样就将以上两种方法统一起来了． 由于函数图像是发现函数性质的直观载体，因此，在本节教学时可以充分使用信息技术创设教学情境，以利于学生作函数图像，有更多的时间用于思考、探究函数的单调性．还要特别重视让学生经历这些概念的形成过程，以便加深对单调性的理解． 三维目标　　　　　 1．函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛，学会运用函数图像理解和研究函数的性质． 2．理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义证明函数单调性的步骤，会求函数的单调区间，提高应用知识解决问题的能力． 3．能够用函数的性质解决日常生活中的简单的实际问题，使学生感受到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学生学习函数的紧迫感，激发学生学习的积极性． 重点难点　　　　　 教学重点：函数的单调性． 教学难点：增函数、减函数形式化定义的形成． 课时安排　　　　　 1课时 导入新课　　　　　 德国有一位著名的心理学家名叫艾宾浩斯(Hermann Ebbinghaus,1850—1909)，他以自己为实验对象，共做了163次实验，每次实验连续要做两次无误的背诵．经过一定时间后再重学一次，达到与第一次学会的同样的标准．他经过对自己的测试，得到了一些数据． 时间间隔t 0分钟 20分钟 60分钟 8～9小时 1天 2天 6天 一个月 记忆量y(百分比) 100% 58.2% 44. 2% 35.8% 33.7% 27.8% 25.4% 21.1% 观察这些数据，可以看出：记忆量y是时间间隔t的函数．当自变量(时间间隔t)逐渐增大时，你能看出对应的函数值(记忆量y)有什么变化趋势吗？描出这个函数图像的草图(这就是著名的艾宾浩斯曲线)．从左向右看，图像是上升的还是下降的？你能用数学符号来刻画吗？通过这个实验，你打算以后如何对待刚学过的知识？(可以借助信息技术画图像) 学生：先思考或讨论，回答：记忆量y随时间间隔t的增大而增大；以时间间隔t为横轴，以记忆量y为纵轴建立平面直角坐标系，描点连线得函数的草图——艾宾浩斯遗忘曲线如图1所示． 图1 遗忘曲线是一条衰减曲线，它表明了遗忘的规律．随着时间的推移，记忆保持量在递减，刚开始遗忘速度最快，我们应利用这一规律，在学习新知识时一定要及时复习巩固，加深理解和记忆．教师提示、点拨，并引出本节课题． 推进新课　　　　　 如图2所示的是一次函数y＝x，二次函数y＝x2和y＝－x2的图像，它们的图像有什么变化规律？这反映了相应的函数值的哪些变化规律？ 图2 函数图像上任意点P(x，y)的坐标有什么意义？ 如何理解图像是上升的？ 对于二次函数y＝x2，列出x，y的对应值表(如下表)．完成下表并体会图像在y轴右侧上升． x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 … f(x)＝x2 … … 在数学上规定：函数y＝x2在区间(0，＋∞)上是增函数．谁能给出增函数的定义？ 增函数的定义中，把“当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)”改为“当x1＞x2时，都有f(x1)＞f(x2)”，这样行吗？ 增函数的定义中，“当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)”反映了函数值有什么变化趋势？ 增函数的几何意义是什么？ 类比增函数的定义，请给出减函数的定义及其几何意义？ 函数y＝f?x?在区间D上具有单调性，说明了函数y＝f?x?在区间D上的图像有什么变化趋势？ 讨论结果：函数y＝x的图像，从左向右看是上升的；函数y＝x2的图像在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的；函数y＝－x2的图像在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的． 函数图像上任意点P的坐标(x，y)的意义：横坐标x是自变量的取值，纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小． 按从左向右的方向看函数的图像，意味着图像上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量逐渐增大．图像是上升的意味着图像上点的纵坐标逐渐变大，也就是对应的函数值随着逐渐增大．也就是说从左向右看图像上升，反映了函数值随着自变量的增大而增大． 在区间(0，＋∞)上，任取x1，x2，且x1＜x2，那么就有y1＜y