高中数学知识精要（新人教A）13.数列.docVIP

数　　列 1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。 如（1）已知，则在数列的最大项为__（答：）； （2）数列的通项为，其中均为正数，则与的大小关系为___（答：）； （3）已知数列中，，且是递增数列，求实数的取值范围（答：）； （4）一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是 （）（答：A） A B C D 2.等差数列的有关概念： （1）等差数列的判断方法： 定义法：或。 公式法：①通项； ②前项和. 如设是等差数列，求证：以bn= 为通项公式的数列为等差数列. 提醒：解答题多用定义法. （2）等差数列的通项： 或. 通项公式是n的一次函数，以（n,an）为坐标的一群离散点均匀地分布在直线上. 公差d=是相应直线的斜率.当d0时，数列递增；当d0时，数列递减；当d=0时，{an}为常数数列. 提醒：时，可用来快速求公差. 如(1)等差数列中，，，则通项　　　　（答：）； （2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______ （答：） （3）等差数列｛an｝中， 若， 则（答：0） （3）等差数列的前和： ，. 从函数的角度理解，Sn=na1+d变形为Sn= n2+(a1-)n，当d≠0时是n的二次函数（缺常数项），它的图象是过原点的抛物线上的一群孤立点.点（n，））在一条直线上，此时，可以应用相应二次函数的图象了解Sn的增减变化及最值等问题。当d=0时，{an}是常数列，Sn=na1,此时，若a1≠0,则Sn是关于n的一次式；若a1=0,则Sn=0。 如（1）数列 中，，， 前n项和，则＝＿，＝＿（答：，）； （2）等差数列｛an｝中，若，则.（答：） （3）已知数列 的前n项和，求数列的前项和（答：）. （4）等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。 提醒：（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，…（公差为）；偶数个数成等差，可设为…，,…（公差为2）.（3）任何两个数都有等差中项. 3.等差数列的性质： （1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0. 提醒：可设等差数列的通项公式为，前和公式. （2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。 （3）当时,则有，特别地，当时，则有. 如（1）等差数列中，，则＝____（答：27）； （2）在等差数列中，，且，是其前项和，则 A、都小于0，都大于0　　 B、都小于0，都大于0　　 C、都小于0，都大于0　　 D、都小于0，都大于0　（答：B） (4) 若、是等差数列，则、 (、是非零常数)、、、 ，…也成等差数列，而成等比数列；若是等比数列，且，则是等差数列. 如等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为 .（答：225） （5）在等差数列中，当项数为偶数时，，；项数为奇数时，，（这里即）；。 如（1）在等差数列中，S11＝22，则＝______（答：2）； （2）项数为奇数的等差数列中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）. （6）若等差数列、的前和分别为、，且，则 . 如设{}与{}是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么___________（答：） (7)“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。 法一：由不等式组确定出前多少项为非负（或非正）； 法二：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？ 如（1）等差数列中，，，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，最大值为169）； （2）若是等差数列，首项，，则使前n项和成立的最大正整数n是　　　　 （答：4006）． (8)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 提醒：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究. 4.等比数列的有关概念： （1）等比数列的判断