高中数学优秀教案第二册上：8.5 抛物线及其标准方程.docVIP

8．5　 抛物线及其标准方程 我们知道，与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线．那么，当e＝1时它是什么曲线呢？ 把一根直尺固定在图板上直线l的位置(图8－19)．把一块三角尺的一条直角边紧靠着直尺的边缘，再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条直角边的一点A，取绳长等于点A到直角顶点C的长(即点A到直线l的距离)，并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F．用铅笔尖扣着绳子，使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺，然后将三角尺沿着直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出了一条曲线． 从图8－19中可以看出，这条曲线上任意一点P到F的距离与它到直线l的距离相等．把图板绕点F旋转90°，曲线就是初中见过的抛物线． 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 下面根据抛物线的定义，我们来求抛物线的方程． 如图8－20，建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F且垂直于直线l，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合． 设点M(x，y)是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d． 由抛物线的定义，抛物线就是集合 P={M||MF|=d}． 将上式两边平方并化简，得 y2＝2px(p＞0)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ① 方程①叫做抛物线的标准方程．它表示的抛物线的焦点在x轴的 一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同．所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：y2=－2px，x2=2py，x2=－2py．这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程列表如下： 例1　 (1)已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程； (2)已知抛物线的焦点坐标是F(0，－2)，求它的标准方程． 线的标准方程是 x2=－8y． 求标准方程： 先定焦点的位置；再定一次项系数。 ?练习 1，已知抛物线方程x=1/6y2 求焦点坐标，准线方程。 2， 已知抛物线的准线方程 y=-2, 求抛物线的标准方程。 3，若抛物线的焦点在直线4x+3y+12=0上，求抛物线标准方程。 作业： 课本 P119： 2