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根轴法的改进 蒋培杰 北京师范大学 数学科学学院 08级师范生jiangpeijie@ 摘要 高中阶段, 解一元高次不等式的常用方法就是根轴法. 很多版本的教学参考书中都介绍了这种方法. 然而, 这些教参介绍的只是一个做题的程序, 至于为什么要那样做, 书中并未解释. 本文首先介绍了根轴法解一元高次不等式的基本步骤, 然后探讨根轴法的理论依据, 指出了根轴法的不足, 最后介绍了一种优于根轴法的解一元高次不等式的通用方法. 关键字 根轴法 电杆法 一元高次不等式 知识基础—根轴法 用根轴法解一元高次不等式, 就是先把不等式一端化为零, 再对另一端分解因式, 并求出它的零点, 把这些零点标在数轴上, 再用一条光滑的曲线, 从轴的右端上方起，依次穿过这些零点，则大于零的不等式的解对应着曲线在上方的实数的取值集合; 小于零的不等式的解对应着轴下方部分实数的取值集合. 运用根轴法需注意以下几点：(1)画数轴时，将零点按从左到右顺序依次标出；(2)画的曲线从右到左穿针引线，若这个根是偶次重根就不穿越它，否则就要穿过它，即“奇穿偶回”；(3)不能分解的要判定正负后直接约去. 例子 解一元高次不等式：. 解:由根轴法, 因,故原不等式等价于, 该不等式有四个零点,依次是1,2,3,4.将零点顺次标在数轴上,然后用光滑的曲线从轴右上方起按照“奇穿偶回”的原则依次连接这些零点，则不等式解为轴下方部分的实数的取值集合，如图，即. 1 2 3 4 问题的提出 根轴法中为什么要“奇穿偶回”？怎样解释才能使高中学生理解为什么要“奇穿偶回”？甚至有的学生会问，为什么要穿来穿去？ 很多数学老师没有讲清楚这个问题. 几乎所有教学辅导用书上都没有给出清楚的解释，很多老师也只是照本宣科，并没有去探讨更本质的东西. 当然，根轴法作为一种具体的解题方法，是从大量的特例中提炼和总结出来的. 但是，如果仅仅让学生记住这个方法而不是理解，那不是教数学的方法. 现在我们对根轴法进行改进，给出一种更简洁、更容易为学生理解的方法. 电杆法 用电杆法解一元高次不等式, 就是先把不等式一端化为零, 再对另一端分解因式, 并求出它的零点, 把这些零点标在数轴上,在每一个零点处画一垂直于轴的小线段，这些小线段把轴分成若干较小区间，将区间编号，从右到左依次为1，2，3,4,5…… 则大于零的不等式的解对应着轴上编号为奇数的区间上实数的取值集合; 小于零的不等式的解对应着轴编号为偶数的区间上实数的取值集合. 运用电杆法需注意以下几点： (1)画数轴时，将零点按从左到右顺序从小到大依次标出； (2)若某个根是偶次重根就判断该零点是否满足不等式（满足不等式的零点要纳入最后解集中），然后直接约去. 例如， (3)若某个根是奇次重根，把它看作一次的. 例如， (4)不能分解的要判定正负后直接约去. 例如， 例子 解一元高次不等式：. 解：由电杆法，原不等式有四个零点，一次为1,2,3,4.将零点顺次标在数轴上(空心点).因二重根不满足不等式，可以直接约去；是三次跟，可看作一次；而是不可约的且恒大于零，也可以直接约去，从而原不等式等价于.该不等式有三个零点，在每个零点处画一小险段，如图，不等式的解集为. + - + 1 2 3 4 解一元高次不等式：. 解：原不等式有四个零点，依次为1,2,3,4.将零点顺次标在数轴上(实心点).因二重根满足不等式，最后要把2纳入解集.然后可以直接约去；和是奇次重根，都可看作一次；不可约且恒大于零，也可以直接约去.故原不等式等价于.该不等式有三个零点，在每个零点处画一小竖线段，如图，不等式的解为. - + - + 1 2 3 5 3.解一元不等式：. 解：原不等式等价于或，且.由电杆法，原不等式有四个零点，依次为1,3,4,5.将零点顺次标在数轴上(注意实心和空心).在每个零点处画一小竖线段，如图，不等式解为. + - + - + 1 2